355
правок
Изменения
→Лемма о покоординатной дифференцируемости
=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:
<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.
Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.
Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}
=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
=== Достаточное условие дифференцируемости ===
