Изменения

Пусть <tex>X</tex> ­— нормированное пространство. Линейный функционал <tex> f \in X^* </tex> {{---}} '''непрерывен''' в точке <tex> x </tex>, если

<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) </tex>.

}}

|statement= Линейный функционал <tex>f</tex> непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> непрерывен в нуле.

|proof=

Рассмотрим <tex> x_n \to 0 </tex>. <tex> f(x_n) \to f(0) = 0 </tex>. Проверим непрерывность <tex>f</tex>:

<tex>f(x_n - x) = f(x_n) - f(x), \quad f(x_n) \to f(x) </tex>

}}

Обозначение <tex> \overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \} </tex>

{{Определение

|definition=

<tex> f </tex> ­— '''ограниченный''' функционал, если <tex> \| f \| < \infty </tex>.

}}