689
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
Будем рассматривать последовательность операторов <tex>A_n: X \rightarrow Y</tex>.
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex>A_n</tex> '''поточечно ограничена''', если <tex>\forall x \in X \sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n x\| \le +\infty</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex>A_n</tex> '''равномерно ограничена''', если <tex>\sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n\| \le +\infty</tex>.
}}
{{Теорема
|author=
Банах, Штейнгауз
|about=
Принцип равномерной ограниченности
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} банахово, <tex>A_n \in L(X, Y)</tex>, <tex>A_n</tex> поточечно ограничена. Тогда <tex>A_n</tex> равномерно ограничена.
|proof=
Пусть существует некоторый замкнутый шар <tex>\overline V</tex>, такой, что <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = +\infty</tex>.
Тогда <tex>\exists n_1: \|A_{n_1} x_1\| \ge 1</tex>; <tex>A_{n_1}</tex> непрерывен, значит, можно взять <tex>V_r(x) = \overline {V_1} \subset \overline V</tex>, где <tex>r = \frac {r(\overline V)}{2}</tex>.
<tex>\exists n_2: \|A_{n_2} x_2\| \ge 2</tex>; <tex>A_{n_2}</tex> непрерывен, берем <tex>V_r(x) = \overline {V_2} \subset \overline {V_1}</tex>, где <tex>r = \frac {r(\overline V_1)}{2}</tex>.
Продолжая таким образом, выстраиваем последовательность вложенных шаров <tex>\overline {V_{n_m}}: \overline {V_{n_{m+1}}} \subset \overline {V_{n_m}}, r_{n_m} \to 0, \forall x \in \overline {V_{n_m}}: \|A_{n_m} x \| > m</tex>.
Так как <tex>Y</tex> - банахово, то существует <tex>c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline {V_{n_m}}</tex>, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| < +\infty</tex>.
Но <tex>\forall m: \|A_{n_m}(c)\| > m\|</tex>, то есть, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty</tex>. Получили противоречие, значит, <tex>A_n</tex> равномерно ограничена.
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
