Изменения

| f(xx_n) | \leq \| f \| \cdot \| x_n \| \implies

По определению всюду плотности, <tex> \mathrm{{TODO|tCl}\, Y =Идея доказательстваX </tex>, то есть любое <tex> \forall x \in X </tex> можно аппроксимировать последовательностями <tex>y \in Y</tex>:}}<tex> y_n \to x </tex>, при этом последовательности <tex>y</tex> будут сходящимися в себе.

Рассмотрим последовательность <tex> \mathrm{Clf(y_n) \}\</tex>. Она сходится в себе, Y так как <tex>f(y_n) - f(y_m) = X f(y_n - y_m)</tex>. , <tex> \forall x y_n - y_m \in X Y</tex> можно аппроксимировать , и как мы уже заметили, последовательность <tex>y </tex> сходится в себе, тогда по непрерывности <tex> f(y_n - y_m) </tex> сходится и последовательность <tex>f(y_n)</tex> сходится в себе, тогда по полноте <tex>\in Ymathbb{R}</tex>, последовательность <tex>f(y_n)</tex> также сходится к некому пределу <tex> \widetilde f(x) </tex>, то есть:который мы определим как продолжение функционала в точке <tex>x</tex>.

{{TODO|t=осталось вот:}} Установим единственность: <tex> y_n y'_n \to x \in Y,implies \quad lim f(y_n ) = \to x lim f(y'_n) </tex>. Таким образом предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.

Рассмотрим последовательность <tex> \{ f(y_n) \} </tex>.Установим, что она сходится в себе на <tex> \mathbb{R} \implies \exists\, \lim\limits_{n \to \infty} f(y_n) = \widetilde f(x) </tex>.Проверим <tex> y'_n \to x \implies \lim f(y_n) = \lim f(y'_n) </tex>.Значит наше определение корректно — предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.ПроверяемПокажем, что <tex> \widetilde f </tex> ­— линейный и удовлетворяет условию теоремы.