1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''непрерывно обратимым''', если существует <tex> A^{-1} : Y \to X </tex> и <tex> \| A^{-1} \| < \infty </tex>. , причем <tex>A^{{TODO|t=от обратного оператора требуется, чтобы он был -1}</tex> должен быть определен на всем кодомене, или только на образе?}}<tex>Y</tex>.
}}
Пусть <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \} </tex> замкнут.
Можно показать, что <tex> X \times Y </tex> банахово с нормой <tex> \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| </tex>.{{TODO|t=показать бы}}
Рассмотрим следующий оператор: <tex> T : G(X \times YA) \to X, T(x, Ax) = x </tex>.
<tex> T </tex> биективно отображает <tex> G(A) </tex> в <tex> X </tex>.
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор. Тогда <tex> A </tex> {{---}} открытое отображение.
|proof=
<tex> Z = \mathrm{Ker} A </tex> {{---}} линейное подпространство в <tex> X </tex>. <tex> X|_Z </tex> {{---}} фактор подпространства.
Рассмотрим <tex> X/_Z </tex> {{---}} фактор-подпространство. <tex> i : X \to X|/_Z, i(x) = [x]</tex>, где <tex> [x] </tex> {{---}} класс смежности <tex> x </tex>, <tex>i</tex> называется '''каноническим вложением''' <tex>X</tex> в фактор-пространство.Оператор <tex> i </tex> {{---}} линейный и ограниченный, переводит открытое множество в <tex> X </tex> в открытое множество в <tex> X/_Z </tex>. {{TODO|t=доказать это, упражнение}}
Рассмотрим <tex> U_A : X/_Z \to Y, U_A([x]) = Ax </tex> {{TODO|t=Отсюда и до конца полный мрак---}}оператор, ассоциированный с <tex> A </tex>.
Оператор <tex> U_A : X|/_Z \to Y, U_AR([x]A) = Ax </tex> {{---}} операторбиективен, ассоциированный с <tex> A </tex>. <tex> A = U_A \cdot i </tex>, причем по построению ясно (нифига не ясно)следовательно, что разные классы он переводит в разные точки <tex> Y </tex>. <tex> U_A : X|_Z \xrightarrow[]{bijective} R(A) \implies U_A^{-1} </tex> {{---}} ограничен (по теореме Банаха), значит <tex> U_A </tex> открыт, суперпозиция открытых открыта, а, получается, и <tex> A </tex> открыт.
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
