1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
<tex>r_\sigma(A) = \inf\limits_{n \in \mathbb N} \sqrt[n]{\|A^n\|^n}</tex> {{---}} спектральный радиус оператора.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex>r_\sigma(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A^n\|^n}</tex>
|proof=
{{TODO|t=тут везде написано <tex>\|A\|^n</tex> вместо <tex>\|A^n\|</tex>, надо пофиксить}}
Обозначим для краткости <tex>r_\sigma(A)</tex> за <tex>r</tex>.
По определению нижней грани, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: r \le \sqrt[n]{\|A^n\|^n} < r + \varepsilon</tex>.
<tex>\forall n > n_0, n = p_n n_0 + q_n</tex>, где <tex>q_n = 0, 1, \ldots, n_0 - 1</tex>.
<tex>\sqrt[n]{\|A^n\|^n} = \sqrt[p_n n_0 + q_n]{\|A^n\|^n}</tex>, <tex>\|A^n\|^n \le \|A^{p_n n_0}\| \|A\|^{q_n} \|\le \|A^n_0\|^p_0 \|A\|^{q_n}\|</tex>
Значит, <tex>\sqrt[n]{\|A^n\|^n} \le \sqrt[\frac{n}{p_0}]{\|A\|^{n_0}\|} \sqrt[\frac{n}{q_n}]{\|A\|}</tex>.
Здесь <tex>\sqrt[\frac{n}{p_0}]{\|A\|^{n_0}} = \sqrt[\frac{p_n n_0 + q_n}{p_0}]{\|A\|^{n_0}} \le \sqrt[\frac{p_n n_0}{p_0}]{\|A\|^{n_0}} = \sqrt[n_0]{\|A\|^{n_0}} < r_\sigma + \varepsilon</tex>, а <tex>\sqrt[\frac{n}{q_n}]{\|A\|} \le \sqrt[\frac{n}{n_0 - 1}]{\|A\|} \to \|A\|^0 = 1</tex>.
