174
правки
Изменения
→Неравенство Коши — Буняковского
{{Теорема
|statement= <tex>Cov^2(\eta, \xi) \le \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2</tex> (где<tex>\sigma</tex> — среднеквадратическое отклонение)|proof= Для этого предположим, что <tex> t </tex> {{---}} некоторое вещественное число, которое мы выберем позже, и рассмотреть рассмотрим очевидное неравенство
<tex> E((V+tW)^2) \ge 0 </tex>, где <tex> V = \eta - E\eta </tex> и <tex> W = \xi - E\xi </tex>.
Используя линейность математического ожиданиеожидания, мы получим эту неравенствуполучаем такое неравенство:
<tex> E(V^2)+2tE(VW)+t^2E(W^2) \ge 0 </tex>
Мы имеем <tex> E(V^2)=\sigma_\eta ^2</tex>, <tex> E(W^2)=\sigma_\xi ^2</tex> и <tex> E(VW)=Cov(\eta,\xi); </tex>:
<tex>\sigma_\xi ^2t^2+2Cov(\eta,\xi)t+\sigma_\eta ^2 \ge 0</tex>
Из этого неравенства мы видим, что единственный способ левой стороне левая сторона может быть равняться <tex>0</tex> только тогда, если когда многочлен имеет двойной корень (т.е. это график касается оси <tex>x</tex> в одномодной точкe), которая могла произойти что может быть только если дискриминант равен 0при нулевом дискриминанте. Таким образом, дискриминантвсегда должен быть отрицательным или 0неположительным, что означает:
<tex> 4Cov^2(\eta,\xi)-4\sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2 \le 0</tex>
<tex>Cov^2(\eta,\xi) \le \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2</tex>
что и нужно было требовалось доказывать.
}}
