315
правок
Изменения
→6 Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.
= 6 Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела. =
{{Определение
|definition=
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}</tex>
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex>
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex>
Пространство с введенной на нем нормой называют '''нормированным пространством'''.
}}
В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.
Например, если <tex>E \subset X</tex>, <tex>a</tex> — предельная точка множества <tex>E</tex>, <tex>f \colon E \to Y</tex> (где <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> — нормированные пространства), то <tex>A</tex> называется пределом функции <tex>f</tex> при <tex>x \rightarrow a</tex> и обозначается <tex>\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)</tex>, если для любого положительного <tex>\varepsilon</tex> найдётся <tex>\delta > 0</tex>, для которого выполняется следствие <tex>0 < \|x - a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - A\| < \varepsilon</tex>.
Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>x_n</tex>, <tex>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex>x_n \rightarrow x</tex>, <tex>y_n \rightarrow y</tex>, <tex>\alpha_n \rightarrow \alpha</tex>.
Тогда:
# <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>
# <tex>\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x</tex>
# <tex>\|x_n\| \rightarrow \|x\|</tex>
|proof=
1) По определению предела в метрических пространствах, <tex>x_n \rightarrow x \iff \|x_n - x\| \rightarrow 0</tex>.
<tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| = \|(x_n - x) + (y_n - y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \rightarrow 0</tex> по арифметике числовых пределов. Но, поскольку <tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| \ge 0</tex> по определению нормы, то по принципу сжатой переменной <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>.
2) Пусть <tex> \alpha_n = \alpha + \Delta \alpha_n </tex>, <tex> x_n = x + \Delta x_n </tex>; <tex>\Delta \alpha_n, \Delta x_n</tex> стремятся к нулю при <tex> n \rightarrow \infty </tex>.
Тогда <tex> \| \alpha_n x_n - \alpha x \| = \| (\alpha + \Delta \alpha_n) (x + \Delta x_n) - \alpha x \| = </tex>
<tex> = \| \alpha \Delta x_n + \Delta \alpha_n x + \Delta \alpha_n \Delta x_n \| \le \| \alpha \Delta x_n \| + \| \Delta \alpha_n x \| + \| \Delta \alpha_n \Delta x_n \| \rightarrow 0</tex>.
3) <tex>\|x_n\| = \|x + (x_n - x)\| \le \|x\| + \|x_n - x\| \Rightarrow \|x_n\| - \|x\| \le \|x_n - x\| </tex>
Аналогично, <tex> \|x\| - \|x_n\| \le \|x_n - x\| </tex>.
Значит, <tex> \left|\|x_n\| - \|x\|\right| \le \|x_n - x\| </tex>, при <tex> \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad \left|\|x_n\| - \|x\|\right| \rightarrow 0</tex>, что и требовалось доказать.
}}
= 7 Эквивалентность норм в конечномерном НП. =
= 8 Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП. =
