Изменения
→Свойства корреляции
|proof=
Для доказательства используем свойства [[Ковариация_случайных_величин|ковариации]]
<tex>Cov^2(\eta, \xi) \le \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2</tex>
из этого выходит <texdpi = "150"> {Cov^2(\eta,\xi)\over(\sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2)} \le 1</tex>
при условии, что знаменатель не обращается в нуль.
|proof=
Для доказательства используем доказательство свойства [[Ковариация_случайных_величин|ковариации]].
Так как у нас <tex> Corr(\eta, \xi) = \pm 1 </tex>
то это означает, что <tex>Cov^2(\eta,\xi) = \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2</tex>
Из этого следует
<texdpi = "150">Corr(\eta, \xi)= {Cov(\eta, \xi)\over \sigma_\eta \sigma_\xi}={k\over |k|}</tex>,
это равно <tex>\pm 1</tex>, зависит от знака <tex>k</tex>.
|proof=
Пусть <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> - [[Независимые_случайные_величины|независимые величины]]. Тогда <tex>E(\eta \times \xi)=E(\eta) \times E(\xi)</tex>, где <tex>E</tex> - их [[Математическое_ожидание_случайной_величины|математическое ожидание]]. Получаем:
: <tex dpi = "150">Corr(\eta, \xi) = {E(\xi) \times E(\eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over {E\big((\eta-E(\eta))^2\big) \times E\big((\xi-E(\xi))^2\big)}} = 0</tex>
<b>Но обратное неверно:</b>
Пусть <tex>\eta</tex> - [[Дискретная_случайная_величина|случайная величина]], распределенная симметрично около 0, а <tex>\xi=\eta^2</tex>. <tex>Corr(\eta,\xi)=0</tex>, но <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> - зависимые величины.
