46
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex>f</tex> — ограничен <tex>\iff \mathrm{Ker}\, f</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>.
|proof=
*<tex>\Rightarrow</tex><tex>f</tex> — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала:<br><tex>x_n \rightarrow x \implies f(x_n) \rightarrow f , \, x_n \in \mathrm{Ker} f</tex>, \, <tex>f(x_n) = 0, f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker} f</tex>то есть оно содержит пределы своих подполедовательностей <tex>\implies</tex> ядро замкнуто.* <tex>\Leftarrow </tex><tex>\mathrm{Ker}</tex> - замкнуто. <tex>Cl \mathrm{Ker} f = \mathrm{Ker} f</tex>. Если <tex>x_n \in X ,\, x_n \rightarrow x \stackrel{?}{\Rightarrow} f(x_n) \rightarrow f(x)</tex>.<br><tex>Codim \mathrm{Ker} f = 1</tex>, значит мы сможем представить <tex>x_n</tex> и <tex>x</tex> следуюшим образом:<br><tex>x_n = y_n + t_ne, \,y_n \in \mathrm{Ker} f, \, e \in X</tex><tex>x = y + te </tex>. Проверим <tex> x_n \rightarrow x \stackrel{?}{\Rightarrow} t_n \rightarrow t </tex>. Достаточно доказать, что <tex>\{ t_{n_k} \} \rightarrow t </tex>. Пусть <tex> t_{n_k} \rightarrow t' \implies t_{TODO|n_k} e \rightarrow t'e</tex> <tex> x_{n_k} (\rightarrow x) =y_{n_k} + t_{n_k} e (\rightarrow t'e)</tex> (по условию <tex>x_n \rightarrow x</tex>) Значит <tex>y_{n_k} \rightarrow y'</tex> (и <tex> x = y' + t'e</tex>) В силу замкнутости ядра т.к. <tex>y_{n_k} \in \mathrm{Ker} f \implies y' \in \mathrm{Ker} f </tex> Значит мы записали <tex> x = y' + t'e, \, y' \in \mathrm{Ker} f</tex>. Отсюда, т.к. представление единственно и <tex>t'=t</tex>, получаем, что-то не вижу доказательства в конспекте Алины}}выражении <tex>x_n = y_n + t_ne, \, x_n \rightarrow x,\, y_n \rightarrow y,\, t_n \rightarrow t </tex> <tex>f(x_n) = f(y_n) + t_nf(e) = t_nf(e) \rightarrow tf(e) = f(y + te) = f(x)</tex>
}}
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space Quotient space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) Quotient space (linear algebra)]
/tex>
то есть оно содержит пределы своих подполедовательностей
