1302
правки
Изменения
м
Нет описания правки
|definition=
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow iff x = \mathrm{0}</tex>
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex>
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex>
{{Определение
|definition=
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> '''эквивалентны''', если сходимость в них равносильна: <tex>\forall \{x_n\}: x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.
}}
Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность).
{{Утверждение
|statement=
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> эквивалентны <tex> \Longleftrightarrow iff </tex> существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>.
|proof=
{{TODO|t=Это было "очевидно". Доказал: --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:46, 13 января 2013 (GST). Проверьте и, если все хорошо, уберите данную плашку.}}
Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость:
<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Rightarrow implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < \varepsilon \Rightarrow implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \frac \varepsilon m \Rightarrow implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>;
<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \Rightarrow implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \varepsilon \Rightarrow implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < M \varepsilon \Rightarrow implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x</tex>.
Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет:
Покажем, что <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \|</tex>. Раскроем двумя способами модуль.
* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\ge0 </tex> <tex>\Rightarrowimplies </tex> <tex>\|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\le\|\alpha\| + \|\Delta\alpha\|-\|\alpha\| = \|\Delta\alpha\|</tex>* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|<0 </tex> <tex>\Rightarrowimplies </tex> <tex>\|\alpha\|-\|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>= \|\alpha+\Delta\alpha-\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>\le \|\alpha+\Delta\alpha\| + \|\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex> = \|\Delta\alpha\|</tex>
По свойствам нормы, <tex>\|\Delta\alpha\| = \|\sum \Delta\alpha_k e_k\| \le \sum \|\Delta\alpha_ke_k\| = \sum |\Delta\alpha_k| \|e_k\|</tex>
<tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}</tex>, то есть при стремлении <tex>\Delta \alpha_k </tex> к <tex>0</tex>, расстояние между <tex>f(\overline \alpha)</tex> и <tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)</tex> также стремится к нулю, что означает непрерывность.
Так как <tex>f</tex> непрерывна на <tex>S_2</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный <tex>m</tex> (пусть он достигается в точке <tex>\overline \alpha^*</tex>). Также <tex>f</tex> не может быть нулем на <tex>S_2</tex>: пусть для какого-то <tex>x \in S_2</tex> это так, тогда тогда <tex>\|x\| = 0 \Rightarrow implies \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow implies \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow implies \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow implies \|x\|_2 = 0</tex>, что означает, что <tex>x \notin S_2</tex>, то есть <tex>m > 0</tex>.
Теперь рассмотрим произвольный ненулевой <tex>x \in \mathbb{R}^n</tex>, тогда точка <tex>x' = {x \over \|x\|_2}</tex> также принадлежит <tex>\mathbb{R}^n</tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит <tex>S_2</tex>. Рассмотрим <tex>x'</tex>: <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m</tex>, то есть <tex>m \| x \|_2 \le \|x\|</tex>.
По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость.
Возьмем еще одну последовательность <tex>y_p \to y</tex>, <tex>\|y_m - y_p\| \to 0 \Rightarrow implies \|y_m - y_p\|_2 \to 0</tex>.
Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>.
