Изменения
Нет описания правки
|proof=
Рассмотрим сумму в числителе дроби справа:
<tex>\sum\limits_{k \in G}I(k)</tex> {{---}} это ничто иное как количество "инвариантных пар". {{Определение|definition= Пара элементов '''инвариантна''', если они оба принадлежат к одному классу эквивалентности.}} Очевидно, что в формуле мы имеем право изменить порядок суммирования - сделать внешнюю сумму по элементам множества <tex>f</tex>, а внутри нее поставить величину <tex>J(f)</tex> {{---}} количество перестановок, относительно которых объект <tex>f</tex> инвариантен:
Для доказательства этой формулы составим таблицу, столбцы которой будут подписаны всеми значениями <tex>f_i</tex>, строки {{---}} всеми перестановками <tex>k_j</tex>, а в клетках таблицы будут стоять их произведения. Тогда, если мы будем рассматривать столбцы этой таблицы как множества, то некоторые из них могут совпасть, и это будет означать, что соответствующие этим столбцам <tex>f</tex> также эквивалентны. Таким образом, количество различных как множество столбцов равно количеству классов эквивалентности.
Столбцы таблицы сами распадаются на классы эквивалентности; зафиксируем теперь какой-либо класс и рассмотрим столбцы в нём. Во-первых, заметим, что в этих столбцах могут стоять только элементы <tex>f_i</tex> одного класса (иначе получилось бы, что некоторым эквивалентным преобразованием мы перешли в другой класс эквивалентности, что невозможно). Во-вторых, каждый элемент <tex>f_i</tex> будет встречаться одинаковое число раз во всех столбцах (это также следует из того, что столбцы соответствуют эквивалентным элементам). Отсюда можно сделать вывод, что все столбцы внутри одного класса эквивалентности совпадают друг с другом как мультимножества.
