153
правки
Изменения
→Теорема о расходимости ряда \sum_{}^{}1/n
}}
==Теорема о расходимости ряда <mathtex>\sum_{}^{}1/n</mathtex>== {{Теорема|id=th2|statement=Ряд <tex>\sum_{}^{}1/n</tex> расходится.|proof=<tex>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p} {(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> - простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.}}Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \le k}^{}{(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le k} \frac{1}{n}</tex>.Теперь, пользуясь выражением <tex> ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:<tex> \sum_{p} {ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \le \frac{c}{p^2} </tex> - расходится.
==Теорема о расходимости ряда <math>\sum_{}^{}1/p</math>==
[[Категория: Классы чисел]]
