Изменения
Нет описания правки
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>
A — комплексный компактный оператор (<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>)
Интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.
Ставим задачу: y дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно x?
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен I). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения x будут непрерывно зависеть от y. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае комплексного компактного A ответ даёт теория Шаудера.
Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A,~Ker~T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро T — неподвижные точки A.
