1302
правки
Изменения
м
→Теоремы о множестве значений оператора
Следующие две теоремы — условие разрешимости операторных уравнений. Смысл: $Ax = y$, $y$ — дано, то ответ на вопрос, есть ли решение, состоит в проверке $y \in R(A)$, но можно ограничиться $R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot$, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: $y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*$.
Например, $A: \mathbb{R}^m \to \mathrmmathbb{R}^n$, $A^* = A^\top : \mathrmmathbb{R}^n \to \mathrmmathbb{R}^m$. $R(A) = \operatorname{Cl} R(A)$, $Ax = y$, $y$ — дано. Надо смотреть $y \perp \operatorname{Ker} A^*$, то есть $A^\top y = 0$.
Далее введем класс бесконечномерных параметров, для которых $R(A)$ — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.
