40
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
Ранее мы рассматривали уравнения вида <tex> y = \lambda x - \mathcal{A} x </tex>, где <tex> y </tex> дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать <tex> \sigma(\mathcal{A}) </tex>.
В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.
Решаем уравнение <tex> x = \mathcal{T}(x) </tex>. Составляем последовательность <tex> x_{n+1} = \mathcal{T}(x_n) </tex> и изучаем сходимость последовательности <tex> \{ x_n \} \xrightarrow[]{?} x^* </tex>.
}}
== Метод Ньютона-Канторовича ==
Ньютоном был предложен классический способ решения уравнений (метод касательных). До Ньютона использовали метод половинного деления. В двадцатом веке Канторович перенес соответствующие методы на операторные уравнения вида <tex> \mathcal{T} x = 0, \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>, <tex>X</tex>{{---}} нормированное пространство.
Предположим, что <tex> \mathcal{T} (\overline x) = 0 </tex>. Получим схему метода Ньютона-Канторовича.
<tex> x_0 </tex> {{---}} начальное приближение.
<tex> \mathcal{T} (\overline x) = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) + \hdots </tex>. Обрежем последнюю часть: <tex> 0 = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (x_0 - \overline x) </tex>.
Обозначим <tex> \mathcal{\Gamma}(x_0) = (\mathcal{T}'(x_0))^{-1} </tex>.
<tex> -\mathcal{T}(x_0) = \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) </tex>
Домножим равенство с обеих сторон на <tex> \Gamma(x_0) </tex>: <tex> -\Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) = \Gamma(x_0) \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) = \overline x - x_0 </tex>.
<tex> \overline x = x_0 - \Gamma \mathcal{T}(x_0) </tex>.
Теперь положим <tex> x_{n+1} = x_n - \Gamma(x_0) \mathcal{T} (x_0) </tex> и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>
<tex> x_{n+1} = \mathcal{F}(x_n) </tex>
Покажем, что <tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>, то есть <tex> q = 0 </tex> из условия локальной теоремы о простой итерации.
{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
|proof=
<tex> \| \mathcal{F} (\overline x - \Delta x) - \mathcal{F} (\overline x) \| </tex>
<tex>= \| \overline x + \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \overline x + \Gamma(\overline x) \mathcal{T} (\overline x) \| </tex>
<tex>= \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \|</tex>
Запишем <tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> через значение <tex> \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) </tex>:
<tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex>
<tex> = \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) + \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot (\overline x - (\overline x + \Delta x)) + o(\overline x - (\overline x + \Delta x)) </tex>
<tex>= \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>, откуда <tex> \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) = \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>.
Подставим это равенство в выражение выше: <tex> \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \| </tex>
<tex> =
\| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x) \cdot o(\Delta x) \| </tex>
<tex> = \| \Delta x - \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x)) \cdot o(\Delta x) </tex>.
Итого: <tex> \| \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) \| \le \| \Gamma(\overline x + \Delta x) \| \| o(\Delta x) \| </tex>, откуда <tex> \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) = o(\Delta x) \implies \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
}}
== Теорема Шаудера ==
=== Теорема Брауэра ===
=== Вспомогательные факты ===
=== Проекторы Шаудера ===
