Изменения

<tex>X = C[0;1][Базис Шаудера |</tex>, <tex]][[Теория Гильберта-Шмидта|>K(u,v)</tex> непрерывен на <tex>[0;1]^2</tex>]

A — компактный оператор (Пусть <tex>A \colon X = C[0;1] \to </tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>).

Интегральные уравнения Фредгольма: <tex>fA(x,t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>, x(s) \in C[0;1]</tex>.

X — BФредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактныйе годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы. <tex>T = \lambda I - a</tex>

Ставим задачу: y даноПусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, когда <tex>TxA \colon X \to X</tex>, <tex> A </tex> — компактный. <tex>T =y\lambda I - A</tex> разрешимо относительно x?

<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен I). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно простоСтавим задачу: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>дано, когда <tex>Tx=y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения x будут непрерывно зависеть от y. Интересна ситуация при относительно <tex>|\lambda| < \|A\|x</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.?

Далее будем <tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (I - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| \leq \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера. Будем считать <tex>\lambda = 1</tex> {{Утверждение|statement=<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>|proof=<tex>T = I - A,~</tex> <tex>\operatorname{Ker~}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T </tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>. Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker~}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.  Допустим, что <tex>\dim~\operatorname{Ker~}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow implies \overline W = A \overline W</tex>. Но так Так как <tex>A </tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A </tex> — компактный, то <tex>\dim~\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.}}

|statement=Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A </tex> компактен , тогда <tex>\Rightarrow R(T) = Cl R(T)</tex>замкнуто.|proof=[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее (пятый семестр же?) ]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T) </tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T </tex> есть априорная оценка. Пусть <tex>y \in R(T) \implies Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \implies T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \implies \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \implies x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>. Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. <tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>. Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>. В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>. <tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>. Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>. Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.

То есть, <tex>y \in R(T), TxTz =y0, \forall z \in Ker~T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>operatorname{Ker~} T</tex>. Но <tex>dim~Ker~T < + \infty \Rightarrow Ker~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>

Рассмотрим функцию от n переменных <tex>fT(\alpha_1widehat x_n - z) = y_n </tex>,\ldotsно,так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|widehat x_n </tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) , то <tex>\Rightarrow |\exists widehat x_n - z\alpha^*_1, | \alpha^*_2, ge \ldots, |\alpha^*_n : f (widehat x_n\overline {\alpha}^*) | = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)1</tex>

Получили, что <tex>y 0 \in R(T)ge 1 </tex>— противоречие, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> значит, априорная оценка существует решение с минимальной нормой. Его назовём , <tex>\widehat xR(T) </tex>замкнуто, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через yтеорема доказана.

Докажем теперь два утверждения. {{ТеоремаУтверждение|statement=Спектр компактного оператора не более чем счётен|proof=На отрезке Пусть <tex>[M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \alphain \ldots|mathbb N</tex>, <tex> A|]</tex> должно быть конечное число точек спектра— компактный оператор. Пусть обратное, тогда занумеруем их: Тогда <tex>\lambda_n \neq \lambda_mexists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>. |proof=Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex>x_nA </tex>— собственные вектора, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием. <tex>(I - A)^n = \lambda_n sum\geq limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\alpha sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex> 0 Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>. <tex>L_n M_n = \mathcaloperatorname{LKer} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{ x_1,Ker} (I - A)^n = \ldots, x_n dim \operatorname{Ker}(I - B) < +\infty </tex>. Очевидно Пусть <tex> T = I - A </tex>, что <tex>L_n x \subset L_in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>. Проверим, что включения строгие.Пусть провереното есть, что <tex>x_1,M_n \ldots,x_nsubset M_{n+1} </tex> — ЛНЗ. Докажем тогда Допустим, что <tex>x_1,\ldots,x_n,x_forall n: M_n \subset M_{n+1}</tex> — ЛНЗ(строго). Пусть <tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>. Применим к паре подпространств <tex>x_M_n, M_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k</tex>. Подействуем на это равенство A лемму Рисса:  <tex>A \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1} \| = 1, \forall x \sumin M_n \limits_|x_{k=n+1}^n - x\| \ge \frac12 </tex> Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\alpha_k A x_k| = 1 </tex>. Так как  <tex>x_ky_n = Ax_n </tex> — собственные вектора, из <tex> y_n </tex>\lambda_можно выделить сходящуюся подпоследовательность. <tex> y_{n+1p} x_- y_n = Ax_{n+1p} = \sum\limits_- Ax_{kn} =1}^n \alpha_k \lambda_k x_k \Rightarrow x_{n+1p} = \sum\limits_- (x_{k=1}^n \frac {\alpha_k \lambda_k+p} {\lambda_- Ax_{n+1p}} x_k+ Ax_n) </tex>. Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>. Заметим, но что <tex>z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>. <tex> T^{n+p-1} (z) = \sum\limits_T^{n+p}(x_{k=1n+p}) + T^{n \alpha_k x_k+p-1}(Ax_n) </tex>. Но  Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex>x_1,\ldots,x_n</tex> — ЛНЗ. Второе же, поэтому разложение так как операторы <tex>x_T^{n+p-1}</tex> через их комбинацию единственно. Значити <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex>\alpha_k A(T^{n+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \alpha_k in \fracoperatorname{\lambda_nKer}{\lambda_(T^{n+p-1}}) </tex>.  Но раз <tex>x_z \in M_{n+p-1} \neq 0</tex>, поэтому то <tex>\exists \alpha_|x_{k_0n+p} - z\neq 0 | \ge \Rightarrow frac12 </tex>, и <tex> \alpha_|y_{k_0n+p} = \alpha_- y_{k_0n} \frac {| \ge \lambda_{k_0frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана. }}  {\lambda_{n+1}}Утверждение|statement=Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex> и .Тогда <tex>R(T) = X \iff \lambda_operatorname{k_0Ker} T = \lambda_{n+10\}</tex>, но .|proof=<tex> \implies </tex>: Пусть существует <tex>x_1 \lambda_n ne 0, x_1 \neq in \lambda_moperatorname{Ker} T = N_1 </tex>. Так как <tex> R(T) = X </tex> — мы получили противоречие, поэтому то у уравнения <tex>Tx = x_1</tex> существует решение,\ldotsобозначим его <tex> x_2 </tex>. <tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>,x_nто есть,x_<tex> x_2 \in \operatorname{n+1Ker}T^2 = N_2 </tex>. Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex> — ЛНЗ и включение , что противоречит нашему предположению. Значит, <tex>L_n N_1 \subset L_{n+1}N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex> строгое.

<tex>y_n \in L_n, \|y_n\| = 1, \forall y \in L_{n+1}~\|y_{n+1} - y_n\| \geq \frac 1 2Longleftarrow </tex>:

Система Пусть <tex>\operatorname{y_n\Ker}</tex> ограничена. Определим <tex>z_n T = A y_n</tex>. В силу компактности A из <tex>\{z_n0\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя; противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha;\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.

Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - R(\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_nT)</tex>. Проверим— замкнутое множество, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+pT^* = I -1}A^* </tex>. Если это так, то <tex>R(T^*) = (\lambda_operatorname{n+pKer} y_T)^{n+p} - \lambda_{n+pperp} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. По построению <tex>y_n</tex>, <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |0\lambda_{n+p}| \|y_)^{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex>, в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac 1 2</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\perp}= X^* </tex> не выделить сходящейся подпоследовательности.

Осталось проверитьТогда, что применив первый пункт к <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}T^*</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. получим <tex>y_{n+p} \in L_operatorname{n+p}</tex>, <tex>y_{n+pKer} T^* = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} 0\alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: , и <tex>A y_{n+p} R(T) = (\sum\limits_operatorname{k=1Ker}T^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}*)^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1perp}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}X </tex>.

{{TODO|t=пропуск}}= Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==

альтернатива ФредгольмаПусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A -Шаудера\lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex># <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>|proof=# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, значит, он осуществляет биекцию, и так как ограничен, по [[Теорема Банаха об обратном операторе#banachhom|теореме Банаха о гомеоморфизме]], непрерывно обратим, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex># <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.}} == Теорема о счетности спектра компактного оператора ==Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.  # <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>. Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра: {{Теорема|statement=Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.

Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>. Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра.Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>. Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое. Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1. Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек. Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>. <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.  То что было в скобке обозначим за <tex>t</tex>. Тогда <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - t =\lambda_{n+p}(y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}})</tex> Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}}\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен. Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.