1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \| \le \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.
Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.
{{Теорема|about=почти конечномерность компактного оператора|statement=Итак, если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \|T^{-1}\| \le Cto X</tex>— компактный, то есть, можно писать, что для всех <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex>.такое, что:
# <tex>\sup\limits_n\| \sum\limits_operatorname{i=1dim}^n (R(A_1)) < +\alpha_n e_n infty</tex># <tex>\| \le C A_2\| < \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|varepsilon</tex>.|proof=
По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>. Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>. Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены одним и тем же числом<tex>1 + C</tex>.
Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.
Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
