Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition='''Обратная матрица''' - такая матрица <tex>A^{-1}</tex>, при умножении на кото...»
{{Определение
|definition='''Обратная матрица''' - такая матрица <tex>A^{-1}</tex>, при умножении на которую, исходная матрица <tex>A</tex> даёт в результате единичную матрицу <tex>E</tex>
: <math>\! AA^{-1} = A^{-1}A = E</math>
}}
{{Определение
|definition='''Критерий обратимости матрицы''': квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть ее определитель НЕ равен нулю.
}}
==Свойства обратной матрицы==
* <math>\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}</math>
* <math>\ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}</math>
* <math>\ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T</math>
* <math>\ (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}</math>
=== Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы ===
Возьмём две матрицы: саму <tex>A</tex> и <tex>E</tex>. Приведём матрицу <tex>A</tex> к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной <tex>A^-1</tex>.
==Пример==
Найдем обратную матрицу для матрицы
:<math> A =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{bmatrix}.
</math>
'''1)''' Для начала убедимся, что ее определитель не равен нулю(она невырожденная).
'''2)''' Справа от исходной матрицы припишем единичную.
:<math> [ A | I ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right].
</math>
'''3)''' Методом Гаусса приведем левую матрицу к единичной, применяя все операции одновременно и к левой, и к правой матрицам.
:<math> [ I | B ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\[3pt]
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\[3pt]
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{array} \right].
</math>
'''4)''' <tex>A^{-1} = B</tex>
|definition='''Обратная матрица''' - такая матрица <tex>A^{-1}</tex>, при умножении на которую, исходная матрица <tex>A</tex> даёт в результате единичную матрицу <tex>E</tex>
: <math>\! AA^{-1} = A^{-1}A = E</math>
}}
{{Определение
|definition='''Критерий обратимости матрицы''': квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть ее определитель НЕ равен нулю.
}}
==Свойства обратной матрицы==
* <math>\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}</math>
* <math>\ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}</math>
* <math>\ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T</math>
* <math>\ (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}</math>
=== Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы ===
Возьмём две матрицы: саму <tex>A</tex> и <tex>E</tex>. Приведём матрицу <tex>A</tex> к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной <tex>A^-1</tex>.
==Пример==
Найдем обратную матрицу для матрицы
:<math> A =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{bmatrix}.
</math>
'''1)''' Для начала убедимся, что ее определитель не равен нулю(она невырожденная).
'''2)''' Справа от исходной матрицы припишем единичную.
:<math> [ A | I ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right].
</math>
'''3)''' Методом Гаусса приведем левую матрицу к единичной, применяя все операции одновременно и к левой, и к правой матрицам.
:<math> [ I | B ] =
\left[ \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\[3pt]
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\[3pt]
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{array} \right].
</math>
'''4)''' <tex>A^{-1} = B</tex>
