Изменения
→Неравенство Шварца(Коши-Буняковского)
==Неравенство Шварца(Коши-Буняковского)==
{{Теорема
|statement= <tex>\forall\: x,y\in \mathbb{C}:\;|\left\langle x,y\right\rangle _{G}|\leq\Vert x\Vert_{G}\cdot\Vert y\Vert_{G}</tex>
|proof=
Рассмотрим <tex>\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle =\Vert\lambda x+y\Vert^{2}\geq0</tex>, где <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>
<tex>\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle = \left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle =</tex>
<tex>= \lambda\cdot\overline{\lambda}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\overline{\left\langle x;y\right\rangle })+\left\langle y,y\right\rangle =</tex>
<tex>= \Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+\lambda\cdot 2Re\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0</tex>
}}
