137
правок
Изменения
→Естественный изоморфизм евклидова пространства и его сопряжённого
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle=(f_1;y)</tex> и <tex>\left\langle x,y\right\rangle=(f_2;y)</tex>
Вычтя одно из другого, по линейности <tex>E^*</tex> получим: <tex>0 = (f_1-f_2;y); \forall y \in E \Longrightarrow f_1-f_2= 0_E0_{E^* } \Longrightarrow f_1=f_2</tex>
Таким образом, вектору <tex>x</tex> соответствует единственная форма <tex>f</tex>
}}
|about = 2
|statement = Пусть <tex>f \rightarrow x_1</tex> и <tex>f \rightarrow x_2</tex>. Тогда <tex>x_1=x_2</tex>
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle xx_1,y\right\rangle=(f_1f;y)</tex> и <tex>\left\langle xx_2,y\right\rangle=(f_2f;y)</tex>
Вычтя одно из другого, по линейности <tex>E^*\left\langle \right\rangle</tex> получим: <tex>\left\langle x_1-x_2,y\right\rangle = 0; \forall y \in E \Longrightarrow x_1-x_2= 0_E \Longrightarrow x_1=x_2</tex>
Таким образом, форме <tex>f</tex> соответствует единственный вектор <tex>x</tex>
}}
{{Теорема
|statement=Формула <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex> определяет обратимый линейный оператор <tex>\mathcal{G}: E \Longrightarrow E^*(\mathcal{G}\cdot x=f); \; \exists \mathcal{G}^{-1}: E^* \Longrightarrow E(\mathcal{G}^{-1}\cdot f=x)</tex>
}}
Изоморфизм конечномерного Евклидова пространства и его сопряженного является естественным изоморфизмом.
==Пересадка формы из <tex>E^*</tex> в <tex>E</tex>==
Рассмотрим <tex>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>; <tex>{\{f^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E^*</tex>
