234
правки
Изменения
Новая страница: «{{Лемма |id=1. |author= |about= |statement=Пусть <tex>\mathcal{A}: X\to X</tex>, <tex>p(\mathcal{A})</tex>- полином от <tex>\mathcal{A}</tex>....»
{{Лемма
|id=1.
|author=
|about=
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}: X\to X</tex>, <tex>p(\mathcal{A})</tex>- полином от <tex>\mathcal{A}</tex>. Тогда <tex>Ker \;p(\mathcal{A})</tex> - инвариантное п.п. <tex>\mathcal{A}</tex> (возможно и тривиальное).
|proof=
Пусть <tex>x \in Ker \;p(\mathcal{A})</tex>, т.е. <tex>p(\mathcal{A})x = 0</tex>.
<tex>p(\mathcal{A})(\mathcal{A}x) = \mathcal{A}(p(\mathcal{A})x) = \mathcal{A}(0) = 0</tex>. Таким образом <tex>\mathcal{A}(Ker \; p(\mathcal{A})) \subset Ker \; p(\mathcal{A})</tex>.
}}
{{Теорема
|id=th1.
|author=
|about=
|statement=Пусть <tex>p_{\mathcal{A}}(\lambda)</tex> - минимальный полином <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i(\lambda)</tex>, где <tex>p_i(\lambda)</tex> - взаимно простые делители мин. полинома. <tex>\deg \; p_i(\lambda)>0</tex> (где <tex>i = \overline{1,k}</tex>). Тогда <tex>\ker\;p_i(\mathcal{A})</tex> - нетривиальные инвариантные п.п. <tex>\mathcal{A}</tex>.
|proof=
'''1)''' Пусть <tex>\ker p_i(\mathcal{A}) = X \Rightarrow p_i(\lambda)</tex> - аннулирующий полином. Но <tex>\deg p_i(\lambda)<\deg \; p_{\mathcal{A}}(\lambda)</tex> !!!. Значит, <tex>Ker \; p_i(\lambda) \ne X</tex>.
'''2)''' Пусть <tex>Ker \; p_i(\mathcal{A}) = \{0_x\}</tex>.
<tex>p_{\mathcal{A}}(\lambda) = p_i(\lambda)p_i'(\lambda)</tex>, где <tex>p_i'(\lambda) = \displaystyle \prod_{\underset {s \ne i}{s = 1}}^k p_i(\lambda)</tex>.
<tex>Ker \; p_{\mathcal{A} } = X = Ker\; \underbrace{p_i(\mathcal{A})}_{\{0_x\}} \dotplus Ker\; p_i'(\mathcal{A})</tex>.
<tex>\dim X = n = 0 + n \Rightarrow \dim Ker\; p_i'(\mathcal{A}) = n \Rightarrow Ker \; p_i'(\mathcal{A}) = X</tex>, далее см. 1).
}}
|id=1.
|author=
|about=
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}: X\to X</tex>, <tex>p(\mathcal{A})</tex>- полином от <tex>\mathcal{A}</tex>. Тогда <tex>Ker \;p(\mathcal{A})</tex> - инвариантное п.п. <tex>\mathcal{A}</tex> (возможно и тривиальное).
|proof=
Пусть <tex>x \in Ker \;p(\mathcal{A})</tex>, т.е. <tex>p(\mathcal{A})x = 0</tex>.
<tex>p(\mathcal{A})(\mathcal{A}x) = \mathcal{A}(p(\mathcal{A})x) = \mathcal{A}(0) = 0</tex>. Таким образом <tex>\mathcal{A}(Ker \; p(\mathcal{A})) \subset Ker \; p(\mathcal{A})</tex>.
}}
{{Теорема
|id=th1.
|author=
|about=
|statement=Пусть <tex>p_{\mathcal{A}}(\lambda)</tex> - минимальный полином <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i(\lambda)</tex>, где <tex>p_i(\lambda)</tex> - взаимно простые делители мин. полинома. <tex>\deg \; p_i(\lambda)>0</tex> (где <tex>i = \overline{1,k}</tex>). Тогда <tex>\ker\;p_i(\mathcal{A})</tex> - нетривиальные инвариантные п.п. <tex>\mathcal{A}</tex>.
|proof=
'''1)''' Пусть <tex>\ker p_i(\mathcal{A}) = X \Rightarrow p_i(\lambda)</tex> - аннулирующий полином. Но <tex>\deg p_i(\lambda)<\deg \; p_{\mathcal{A}}(\lambda)</tex> !!!. Значит, <tex>Ker \; p_i(\lambda) \ne X</tex>.
'''2)''' Пусть <tex>Ker \; p_i(\mathcal{A}) = \{0_x\}</tex>.
<tex>p_{\mathcal{A}}(\lambda) = p_i(\lambda)p_i'(\lambda)</tex>, где <tex>p_i'(\lambda) = \displaystyle \prod_{\underset {s \ne i}{s = 1}}^k p_i(\lambda)</tex>.
<tex>Ker \; p_{\mathcal{A} } = X = Ker\; \underbrace{p_i(\mathcal{A})}_{\{0_x\}} \dotplus Ker\; p_i'(\mathcal{A})</tex>.
<tex>\dim X = n = 0 + n \Rightarrow \dim Ker\; p_i'(\mathcal{A}) = n \Rightarrow Ker \; p_i'(\mathcal{A}) = X</tex>, далее см. 1).
}}
