497
правок
Изменения
Новая страница: «{{Теорема |statement= <tex>e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)</tex>;<br> <tex>e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)</tex>, где <tex>\Vert g^{ki}...»
{{Теорема
|statement= <tex>e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)</tex>;<br> <tex>e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)</tex>, где <tex>\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}</tex>
|proof= <tex>{\{e^i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}</tex>(разложение единственно)
Тогда <tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}</tex> (т.к. <tex>\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j</tex>)
<tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}</tex>, т.е <tex>g_{kj}=\alpha_{kj}</tex>
Переход от <tex>(2)</tex> к <tex>(1)</tex> производится путём умножения на обратную матрицу:
<tex>G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}</tex> - и приходим к равенству <tex>(1)</tex>
}}
=Ковариантные и Контрвариантные векторы в E=
пусть <tex>x =! \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i</tex> и <tex>x =! \sum\limits_{k=1}^n \xi_k e^k</tex>
{{Лемма
|about = 1
|statement =
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex> (3) <br>
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k</tex> (4) <br>
здесь <tex>g_{ki}</tex> и <tex>g^{ik}</tex> - [[метрический тензор]]
|proof =
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex>
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k =^{(1)} \sum\limits_{k=1}^n \xi_k (\sum\limits_{i=1}^n g^{ki} e_i) = \sum\limits_{i=1}^n ( \sum\limits_{k=1}^n \xi_k g^{ki}) e_i</tex>
}}
|statement= <tex>e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)</tex>;<br> <tex>e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)</tex>, где <tex>\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}</tex>
|proof= <tex>{\{e^i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}</tex>(разложение единственно)
Тогда <tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}</tex> (т.к. <tex>\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j</tex>)
<tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}</tex>, т.е <tex>g_{kj}=\alpha_{kj}</tex>
Переход от <tex>(2)</tex> к <tex>(1)</tex> производится путём умножения на обратную матрицу:
<tex>G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}</tex> - и приходим к равенству <tex>(1)</tex>
}}
=Ковариантные и Контрвариантные векторы в E=
пусть <tex>x =! \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i</tex> и <tex>x =! \sum\limits_{k=1}^n \xi_k e^k</tex>
{{Лемма
|about = 1
|statement =
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex> (3) <br>
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k</tex> (4) <br>
здесь <tex>g_{ki}</tex> и <tex>g^{ik}</tex> - [[метрический тензор]]
|proof =
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex>
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k =^{(1)} \sum\limits_{k=1}^n \xi_k (\sum\limits_{i=1}^n g^{ki} e_i) = \sum\limits_{i=1}^n ( \sum\limits_{k=1}^n \xi_k g^{ki}) e_i</tex>
}}
