137
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|id=23
|definition=
'''Унитарным оператором''' называется оператор такой, что <tex>\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+} \ (\mathcal{U}^{+}</tex> {{---}} эрмитовски сопряженный оператор<tex>)</tex>, то есть <tex>\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}</tex>
'''Шаг 2. опр2 <tex>\Rightarrow</tex> опр1'''
Пусть во втором определении <tex>x \rightarrow x+y: \Vert \mathcal{U}(x+y) \Vert=\Vert x+y\Vert \Rightarrow \Vert \mathcal{U}(x+y) \Vert^2=\Vert x+y\Vert^2 (*)</tex>
Левая часть <tex>(*)=\left \langle \mathcal{U}(x+y);\mathcal{U}(x+y) \right \rangle=\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle+\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle+\overline{\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle}+\left \langle \mathcal{U}y;\mathcal{U}y \right \rangle</tex>
<tex>=\Vert \mathcal{U}x \Vert^2+2Re\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle+\Vert \mathcal{U}y \Vert^2</tex>
Правая часть <tex>(*)=\left \langle x+y;x+y \right \rangle=\Vert x \Vert^2+2Re\left \langle x;y \right \rangle+\Vert x \Vert^2</tex>
Итого: <tex>Re\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=Re\left \langle x;y \right \rangle</tex>
Аналогично полагая, что <tex>x \rightarrow x+iy</tex> получим, что <tex>Im\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=Im\left \langle x;y \right \rangle</tex>
Тогда <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)</tex>
'''Шаг 3. опр1 <tex>\Rightarrow</tex> опр3'''
<tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;\mathcal{U}^+(\mathcal{U}y) \right \rangle=\left \langle x;\mathcal{U}^+\mathcal{U}y \right \rangle</tex>, так как <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)</tex>, то <tex>\mathcal{U}^+\mathcal{U}y=y=\mathcal{J}y \Rightarrow \mathcal{U}^+\mathcal{U}=\mathcal{J}</tex>
Перейдем в ОРТН базис: <tex>U^+U=E, \ det(U^+U)=detU^+ \cdot detU=detE=1 \Rightarrow \exists U^{-1} \Rightarrow \exists \mathcal{U}^{-1}</tex>
Тогда <tex>\exists \mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+}</tex>, то есть <tex>\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}</tex>
'''Шаг 4. опр3 <tex>\Rightarrow</tex> опр1'''
<tex>\mathcal{U}^+\mathcal{U}y=y (+)</tex>
<tex>\left \langle x;(+) \right \rangle: \left \langle x;\mathcal{U}^+\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y\right \rangle= \left \langle x;y \right \rangle</tex>
}}
