137
правок
Изменения
Нет описания правки
==Унитарный оператор==
{{Определение
|id=1
<tex>\mathcal{U}^+\mathcal{U}y=y (+)</tex>
<tex>\left \langle x;(+) \right \rangle: \left \langle x;\mathcal{U}^+\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y\right \rangle= \left \langle x;y \right \rangle</tex>
}}
==Свойства унитарного оператора==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\mathcal{U} \leftrightarrow U=\Vert \nu_{i}^{k} \Vert</tex>, тогда
1) <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\nu_{k}^{i} \overline{\nu}_{j}^{k}=\delta^{ij}</tex> {{---}} ортогональность матрицы УНО по строкам.
2) <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\nu_{i}^{k} \overline{\nu}_{k}^{j}=\delta^{ij}</tex> {{---}} ортогональность матрицы УНО по столбцам.
|proof=
Рассмотрим <tex>\{\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+\}_{i}^{j}=\sum\limits_{i=1}^{k} \{\mathcal{U}\}_{k}^{i} \cdot \{\mathcal{U}^+\}_{j}^{k} \ (*) \ (\mathcal{U}^+=\overline{\mathcal{U}}^T</tex> {{---}} так как базис ОРТН <tex>)</tex>
<tex>(*)=\sum\limits_{k=1}^{n} \nu_{k}^{i} \overline{\nu}_{j}^{k}=\delta^{ij}=\{E\}_{j}^{i}=\delta^{ij}</tex>
Для строк аналогично.
}}
{{Определение
|definition=
Матрица, обладающая свойствами ортогональности по строкам и столбцам называется '''унитарной матрицей'''. <tex>(U^{-1}=U^+, \ U^{-1}=\overline{U}^T, \ U \cdot U^+=U^+ \cdot U=E)</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{U}: E \rightarrow E \ (E - </tex> евклидово над <tex>\mathbb{R})</tex> и <tex>\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^+</tex>, тогда ло <tex>\mathcal{U}</tex> называют '''ортогональным'''
}}
{{Лемма
|statement=
В ОРТН базисе: <tex>U^{-1}=U^+=U^T</tex>
|proof=
}}
{{Определение
|definition=
В <tex>\mathbb{R} \ U^{-1}=U^T</tex> называют '''ортогональной матрицей'''.
}}
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>\mathcal{U} -</tex> УНО, тогда <tex>\vert det \ \mathcal{U} \vert=1</tex>
|proof=
Рассмотрим ОРТН базис: <tex>U \cdot U^+=U^+ \cdot U=E</tex>
<tex>det(U \cdot U^+)=detU \cdot detU^+=detU \cdot det \overline{U}^T=detU \cdot \overline{detU^T}= detU \cdot \overline{detU}=\vert detU \vert^2=det E=1 \Rightarrow \vert det \ \mathcal{U} \vert=1</tex>
}}
NB: Для ОРТН оператора: <tex>det \ \mathcal{U} \vert=1 \Rightarrow det \mathcal{U}= \pm 1</tex>
{{Лемма
|statement=
Все сз УНО по модулю равны 1 <tex>\Rightarrow</tex> лежат на единичной окружности <tex>\mathbb{C}</tex>
|proof=
Пусть св <tex>x \rightarrow</tex> сз <tex>\lambda</tex>
<tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle x;x \right \rangle=\Vert x \Vert^2</tex>
<tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle \lambda x;\lambda x \right \rangle= \lambda \cdot \overline{\lambda}\left \langle x;x \right \rangle = \vert \lambda \vert^2 \cdot \Vert x \Vert^2 \Rightarrow \vert \lambda \vert^2=1 \Rightarrow \vert \lambda \vert=1</tex>
}}
NB: <tex>\sigma_{\mathcal{U}} = \{\lambda_1 = e^{i\phi_1}...\lambda_k = e^{i\phi_k}\}</tex>
{{Лемма
|statement=
Все св УНО отвечающие различным сз ортогональны.
|proof=
Пусть св <tex>x_1 \rightarrow</tex> сз <tex>\lambda_1</tex>, св <tex>x_2 \rightarrow</tex> сз <tex>\lambda_2</tex>, <tex>\lambda_1 \ne \lambda_2</tex>
<tex>\left \langle \mathcal{U}x_1;\mathcal{U}x_2 \right \rangle=\left \langle x_1;x_2 \right \rangle (1)</tex>
<tex>\left \langle \mathcal{U}x_1;\mathcal{U}x_2 \right \rangle=\left \langle \lambda x_1;\lambda x_2 \right \rangle= \lambda \cdot \overline{\lambda}\left \langle x_1;x_2 \right \rangle (2)</tex>
(1)-(2): <tex>0=(1-\lambda \cdot \overline{\lambda})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=(1-e^{i\phi_1} \cdot e^{\overline{i\phi_2}})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=(1-e^{i(\phi_1-\phi_2)})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle \Rightarrow </tex>
<tex>\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=0 \Rightarrow x_1 \bot x_2</tex>
}}
