7
правок
Изменения
Нет описания правки
|definition =
Если все собственные числа оператора <tex>\mathcal{A}</tex> простые, то оператор называется '''Л.О. с простым спектром'''
NB Если оператор с простым спектром, то это оператор скалярного типа.
}}
== Теоремы унд Леммы ==
=== Теорема о матрице оператора в базисе из собственных векторов ===
{{Теорема
|id=th1
|autor =
|about =
|statement =
В базисе, состоящем из собственных векторов, матрица скалярного оператора имеет диагональный вид.
|proof =
По определению, матрица <tex>||\alpha_{i}^{k}||</tex> оператора <tex>\mathcal{A}</tex> в базисе <tex>\{x_{i}\}_{i=1}^{n}</tex> определяется из условия <tex>Ax_{i} = \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_{i}^{k}x_{k}</tex>. Поскольку <tex>Ax_{i} = \lambda_{i}x_{i}</tex>, имеем <tex>\alpha_{i}^{k} = \delta_{i}^{k}\lambda_{i}</tex>
}}
=== Лемма о собственном подпространстве ===
{{Лемма
|id=lemma1
|author=
|about=
|statement=
Для <tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex>
<tex>X_{\lambda_{i}} = ker(A - \lambda_{i}I)</tex>
|proof =
<tex>\dim(X_{\lambda_{i}}) = 1</tex>
<tex>X_{\lambda_{i}} = \{x \in X : \mathcal{A}x = \lambda_{i}x\} \Rightarrow (A-\lambda_{i}I)x = 0</tex> т.е. <tex>X_{\lambda_{i}} = ker(A-\lambda_{i}I)</tex>
}}
