сократив лишнее, получаем <tex> a^{p-1} \equiv 1(mod \text{ }p)</tex>. Домножив обе части на '''a''', получим теорему в изначально представленном виде.
}}
== Теорема Вильсона ==
{{Теорема
|id=thVilson
|author=Вильсон
|about=О простых числах
|statement=
'''p''' — простое <tex> \Leftrightarrow (p-1)! \equiv -1(mod \text{ }p)</tex>.
|proof=
* <tex> \Leftarrow </tex> Если '''p''' — не простое, тогда <tex> (p-1)! \vdots p </tex> (кроме <tex> p = 4 </tex>),но -1, в любом случае, мы не получим.
* <tex> \Rightarrow </tex> Пусть <tex>x : 1 \le x \le p-1</tex>, для любого такого существует парный ему <tex> y</tex> такой, что <tex> xy \equiv 1(mod \text{ }p) </tex>. Может случиться, что для некоторых <math>x</math> будет выполнено равенство <tex>x=y</tex>. Тогда <tex> x^2 \equiv 1(mod \text{ }p) </tex>, значит <tex> (x-1)(x+1) \vdots p </tex>, значит <tex> x=1 </tex> или <tex>x=p-1</tex>. Таким образом последовательность <tex> 2,3, \ldots,p-2 </tex> разбивается на пары, что произведение чисел каждой из них сравнимо с 1 по модулю p. Таким образом <tex> (p-1)! \equiv 1(p-1)(mod \text{ }p)</tex>, откуда следует, что <tex> (p-1)! \equiv -1(mod \text{ }p)</tex>
}}
