3622
правки
Изменения
добавлено неформальное определение свободного моноида
}}
Другими словами, моноид {{---}} это [[Полугруппа|полугруппа]], в которую добавлен нейтральный элемент. Например, множество натуральных чисел с операцией сложения не является моноидом, а с операцией умножения {{---}} является.
{{Утверждение
|proof=
Действительно, пусть <tex>\varepsilon_1</tex> и <tex>\varepsilon_2</tex> {{---}} два нейтральных элемента. Тогда имеем: <tex>\varepsilon_1 = \varepsilon_1\cdot \varepsilon_2 = \varepsilon_2</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
'''Свободным моноидом''' (англ. ''free monoid'') над множеством <tex> S </tex> называется моноид над множеством <tex> S^* </tex> {{---}} набором всевозможных последовательностей (или цепочек) конечной длины (или даже нулевой) из множества <tex> S </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
'''Свободным моноидом''' (англ. ''free monoid'') над множеством <tex> S </tex> называется моноид <tex> M </tex> вместе с отображением <tex> i\colon S \rightarrow M </tex> при условии, что для любого моноида <tex> N </tex> и для любых отображений <tex> f \colon S \rightarrow N </tex> существует единственный гомоморфизм моноидов <tex> \overline{f} \colon M(S) \rightarrow N </tex> такой, что <tex> \overline{f} \circ i = f </tex>.
}}
Это наглядно показано следующей картинкой.
