Изменения
Нет описания правки
'''Обход в ширину''' ('''Поиск в ширину''', 'англ. ''BFS''', '''Breadth-first search''') — один из простейших алгоритмов обхода [[Основные определения теории графов|графа]], являющийся основой для многих важных алгоритмов для работы с графами.
== Описание алгоритма ==[[Image: Graph-BFS.gif|thumb|240px|Алгоритм BFS<br><font color==#3c9eff>посещенные</font> вершины<br>]]
Пусть задан невзвешенный ориентированный граф <tex> G = (V, E) </tex>, в котором выделена исходная вершина <tex>s</tex>. Для алгоритма нам потребуются очередьТребуется найти длину кратчайшего пути (если таковой имеется) от одной заданной вершины до другой. Частным случаем указанного графа является невзвешенный неориентированный граф, которая сначала содержит только <tex> s </tex>, и множество посещенных вершин <tex> X </tex>, которое изначально тоже содержит только <tex> s </tex>т.е. На каждом шаге алгоритм вынимает из начала очереди вершинуграф, рассматривает все исходящие из нее в котором для каждого ребра и добавляет все связанные с ней непосещенные найдется обратное, соединяющее те же вершины в <tex> X </tex> и в конец очереди. Если очередь пуста, то алгоритм завершает работудругом направлении.
{{Утверждение
|statement=
В алгоритме очереди поиска в ширину очередь всегда содержит сначала некоторое количество расстояние вершин с расстоянием k, а потом некоторое количество вершин с расстоянием k + 1 (возможно, нулевое)до <tex>s</tex> монотонно неубывает.
|proof=
Докажем это утверждение индукцией по числу выполненных алгоритмом шагов.
Введем дополнительный инвариант: у любых двух вершин из очереди, расстояние до <tex> s </tex> отличается не более чем на <tex> 1 </tex>. '''База''': изначально очередь содержит только одну вершину <tex> s </tex> . '''Переход''': пусть после <tex> i-й </tex> итерации в очереди <tex> a + 1 </tex> вершин с расстоянием 0<tex> x </tex> и <tex> b </tex> вершин с расстоянием <tex> x + 1 </tex>. Рассмотрим <tex> i-ю </tex> итерацию. Из очереди достаем вершину <tex> v </tex>, с расстоянием <tex> x </tex>. Пусть у <tex>v</tex> есть <tex>r </tex> непосещенных смежных вершин. Тогда, после их добавления, в очереди находится <tex> a </tex> вершин с расстоянием <tex> x </tex> и, после них, утверждение верно<tex> b + r </tex> вершин с расстоянием <tex> x + 1 </tex>.
}}
Допустим, что это не так. Выберем из вершин, для которых кратчайшие пути от <tex> s </tex> найдены некорректно, ту, настоящее расстояние до которой минимально. Пусть это вершина <tex> u </tex>, и она имеет своим предком в дереве обхода в ширину <tex> v </tex>, а предок в кратчайшем пути до <tex> u </tex> — вершина <tex> w </tex>.
Так как <tex> w </tex> — предок <tex> u </tex> в кратчайшем пути, то <tex> \rho(s, u) = \rho(s, w) + 1 > \rho(s, w) </tex>, и расстояние до <tex> w </tex> найдено верно, <tex> \rho(s, w) = d[w] </tex>. Значит, <tex> \rho(s, u) = d[w] + 1 </tex>.
Так как <tex> v </tex> — предок <tex> u </tex> в дереве обхода в ширину, то <tex> d[u] = d[v] + 1 </tex>.
}}
== Дерево обхода в ширину == Поиск в ширину также может построить [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]] поиска в ширину. Изначально оно состоит из одного корня <tex> s </tex>. Когда мы добавляем непосещенную вершину в очередь, то добавляем ее и ребро, по которому мы до нее дошли, в дерево. Поскольку каждая вершина может быть посещена не более одного раза, она имеет не более одного родителя. После окончания работы алгоритма для каждой достижимой из <tex> s </tex> вершины <tex> t </tex> путь в дереве поиска в ширину соответствует кратчайшему пути от <tex> s </tex> до <tex> t </tex> в <tex> G </tex>. == Реализация == Предложенная ниже функция возвращает кратчайшее расстояние между двумя вершинами.*<tex> \mathtt{source} </tex> — исходная вершина*<tex> \mathtt{destination} </tex> — конечная вершина*<tex> \mathtt{G} </tex> — граф, состоящий из списка вершин <tex> \mathtt{V} </tex> и списка смежности <tex> \mathtt{E} </tex>. Вершины нумеруются целыми числами.*<tex> \mathtt{Q} </tex> — очередь.*В поле <tex> \mathtt{d[u]} </tex> хранится расстояние от <tex> \mathtt{source} </tex> до <tex> \mathtt{u} </tex>. '''int''' '''BFS'''(G: (V, E), source: '''int''', destination: '''int'''): d = '''int'''[|V|] '''fill'''(d, <tex> \infty </tex>) d[source] = 0 Q = <tex> \varnothing </tex> Q.push(source) '''while''' Q <tex> \ne \varnothing </tex> u = Q.pop() '''for''' v: (u, v) '''in''' E '''if''' d[v] == <tex> \infty </tex> d[v] = d[u] + 1 Q.push(v) '''return''' d[destination] Если требуется найти расстояние лишь между двумя вершинами, из функции можно выйти, как только будет установлено значение <tex> \mathtt{d[destination]} </tex>.Еще одна оптимизация может быть проведена при помощи метода [[Meet-in-the-middle#Задача о нахождении кратчайшего расстояния между двумя вершинами в графе|meet-in-the-middle]]. == Вариации алгоритма ===== 0-1 BFS ===Пусть в графе разрешены ребра веса <tex> 0 </tex> и <tex> 1 </tex>, необходимо найти кратчайший путь между двумя вершинами. Для решения данной задачи модифицируем приведенный выше алгоритм следующим образом:
== Ссылки =1-k BFS ===Пусть в графе разрешены ребра целочисленного веса из отрезка <tex>1 \ldots k</tex>, необходимо найти кратчайший путь между двумя вершинами. Представим ребро <tex>uv</tex> веса <tex>m</tex> как последовательность ребер <tex>uu_1u_2 \ldots u_{m - 1}v</tex> (где <tex>u_1 \ldots u_{m - 1}</tex> — новые вершины). Применим данную операцию ко всем ребрам графа <tex> G </tex>. Получим граф, состоящий (в худшем случае) из <tex>k|E|</tex> ребер и <tex>|V| + (k - 1)|E|</tex> вершин. Для нахождения кратчайшего пути следует запустить BFS на новом графе. Данный алгоритм будет иметь асимптотику <tex> O(|V| + k|E|) </tex>.
== См. также == * [http://e-maxx.ru/algo/bfs Поиск [Обход в ширину на e-maxx.ruглубину, цвета вершин]]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Поиск_в_ширину Поиск в ширину в Википедии[Алгоритм Дейкстры]]* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/bfs-2002 Визуализатор алгоритма[Теория графов]]
== Литература Источники информации ==
*Томас Х. Кормен и др, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 20062007. — Сс. 1296459. — ISBN 05-8489-0857-4* [http://e-07maxx.ru/algo/bfs MAXimal :: algo :: Поиск в ширину]* [[wikipedia:en:Breadth-first_search| Wikipedia {{---}} Breadth-first search]]* [[wikipedia:ru:Поиск_в_ширину| Wikipedia {{---}} Поиск в ширину]]* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-013151general/bfs-12002 Визуализатор алгоритма]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Кратчайшие пути в графах]]