Изменения

Пусть дана КС-грамматика <tex>\Gamma =\langle \Sigma, N, S, P\rangle</tex>. Поскольку классы языков, допускаемых МП-автоматы с допуском автоматами по допускающему состоянию и по пустому стеку и по допускающему состоянию , [[МП-автоматы, допуск по пустому стеку и по допускающему состоянию, эквивалентность | эквивалентнысовпадают]], достаточно построить автомат с допуском по пустому стеку.

* Докажем в обратную сторону. Пусть <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Воспользуемся индукцией по числу переходов в автомате и докажем для любой строки <tex>x</tex> и маркера дна <tex>M \in N</tex>, что если <tex>(q, x, M) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то <tex>N M \Rightarrow^* x</tex>.** База (1 переход): <br> Если <tex>(q, x, NM) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то <tex>x = \varepsilon</tex> и в грамматике присутствует правило <tex>N M \rightarrow \varepsilon</tex>, по которому выводится <tex>\varepsilon = x</tex>.** Индукционный переход: <br> Предположим, что автомат <tex>A</tex> совершает <tex>n</tex> шагов (<tex>n > 1</tex>). Изначально на вершине стеке находится <tex>SM</tex>, поэтому первый переход совершается по одному из правил первого типа, и на стеке оказывается последовательность из терминалов и нетерминалов <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_k</tex>. В процессе следующих <tex>n - 1</tex> переходов автомат прочитает строку <tex>x</tex> и поочерёдно вытолкнет со стека <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_k</tex>. Разобьём <tex>w</tex> на подстроки <tex>x_1 x_2 \ldots x_k</tex>, где <tex>x_1</tex> {{---}} порция входа, прочитанная до выталкивания <tex>Y_1</tex> со стека, <tex>x_2</tex> {{---}} следующая порция входа, прочитанная до выталкивания <tex>Y_2</tex> со стека и так далее. Формально можно заключить, что <tex>(q, x_i x_{i + 1} \ldots x_k, Y_i) \vdash^* (q, x_{i + 1} \ldots x_k, \varepsilon)</tex>, причём менее чем за <tex>n</tex> шагов. Если <tex>Y_i</tex> {{---}} нетерминал, то по индукционному предположению имеем, что <tex>Y_i \Rightarrow^* x_i</tex>. Если же <tex>Y_i</tex> {{---}} терминал, то должен совершаться только один переход, в котором проверяется совпадение <tex>x_i</tex> и <tex>Y_i</tex>. Значит, <tex>Y_i \Rightarrow^* x_i</tex> за 0 шагов. <br> Таким образом, получаем, что <tex>N \Rightarrow Y_1 Y_2 \ldots Y_k \Rightarrow^* x_1 x_2 \ldots x_k = x</tex>.: Подставляя <tex>w</tex> вместо <tex>x</tex> и <tex>S</tex> вместо <tex>NM</tex>, получаем, что <tex>S \Rightarrow^* w</tex>

Пусть дан МП-автомат с допуском по пустому стеку <tex>A = \langle \Sigma, \Pi, Q, q_0 \in Q, z_0, \delta \rangle</tex>. Как отмечалось ранее, предположение о допуске по пустому стеку не умаляет общности. Построим эквивалентную ему КС-грамматику <tex>\Gamma = \langle \Sigma, N, S, P \rangle</tex>. В качестве нетерминалов будем использовать конструкции вида <tex>[pXq]</tex> (где <tex> p, q \in Q</tex>, <tex>X \in \Pi</tex>), которая неформально означает, что в процессе изменения состояния автомата от <tex>p</tex> до <tex>q</tex> символ <tex>X</tex> окончательно удаляется из стека. Также введём стартовый нетерминал <tex>S</tex>. Таким образом, <tex>N = Q \times \Pi \times Q \cup S</tex>.

2) для каждого перехода <tex>\delta(p, a, X) = \{(rr_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k)\}in \delta(p, a, X)</tex> сделаем следующее: для всех упорядоченных списков состояний <tex>\{z_1r_1, z_2 r_2 \ldots z_kr_k\} \in Q^k</tex> добавим правило <tex>[p X z_kr_k] \rightarrow a [r r_0 \gamma_1 z_1r_1] [z_1 r_1 \gamma_2 z_2r_2] \ldots [z_r_{k - 1} \gamma_k z_kr_k]</tex>, если <tex>k > 0</tex>, и <tex>[p X rr_0] \rightarrow a</tex>, если <tex>k = 0</tex>.

Докажем корректность неформального описания нетерминалов Нетерминал <tex>[pXq]</tex>, то есть что должен выводить только те строки <tex>w</tex>, которые переводят автомат из состояния <tex>(p, X)</tex> в <tex>(q, \varepsilon)</tex>. Формально это можно записать следующим образом: <tex>[pXq] \Rightarrow^* w \iff (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Докажем это утверждение:

** База (1 переход): <br> Раз выполняется только один переход, то длина <tex>w</tex> не больше единицы и <tex>\{(q, \varepsilon)\} \in \delta(p, w, X)</tex>, поэтому правило <tex>[pXq] \rightarrow w</tex> по построению должно присутствовать в <tex>P</tex>.** Индукционный переход: <br> Предположим, что <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. Первый переход имеет вид <tex>(p, w, X) \vdash (rr_0, x, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, где <tex>w = ax</tex> (<tex>a</tex> {{---}} символ из <tex>\Sigma</tex> или <tex>\varepsilon</tex>). Значит, <tex>\{(rr_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k)\} \in \delta(p, a, X)</tex>. По построению в грамматике должно присутствовать правило <tex>[p X z_kr_k] \rightarrow a [rr_0 \gamma_1 z_1r_1] [z_1 r_1 \gamma_2 z_2r_2] \ldots [z_r_{k - 1} \gamma_k z_kr_k]</tex> для любой последовательности состояний <tex>\{z_ir_i\}</tex>. Пусть <tex>x = w_1 w_2 \ldots w_k</tex>, где <tex>w_i</tex> {{---}} входная цепочка, которая прочитывается до удаления <tex>\gamma_i</tex> со стека, то есть найдётся такая последовательность состояний <tex>\{z_ir_i\}</tex>, что <tex>(z_r_{i - 1}, w_i, \gamma_i) \vdash^* (z_ir_i, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, причём заканчивается всё в <tex>q = z_kr_k</tex>. Заметим, что все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> переходов, а значит, по индукционному предположению <tex>[z_r_{i - 1} \gamma_i z_ir_i] \Rightarrow^* w_i</tex> для всех <tex>i</tex>. <br> Собирая вышесказанное, получаем <tex>[p X z_kr_k] \Rightarrow a [rr_0 \gamma_1 z_1r_1] [z_1 r_1 \gamma_2 z_2r_2] \ldots [z_r_{k - 1} \gamma_k z_kr_k] \Rightarrow^* a w_1 w_2 \ldots w_k = w</tex>. Так как <tex>z_k r_k = q</tex>, то <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>, тем самым индукционный переход доказан.* Докажем в обратную сторону. Пусть <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>. Докажем, что <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, используя индукцию по числу шагов в порождении.** База (1 шаг): <br> Если <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex> за один шаг, то в <tex>\Gamma</tex> должно быть правило вывода <tex>[pXq] \rightarrow w</tex>, а значит, в автомате должен быть переход <tex>(q, \varepsilon) \in \delta(p, w, X) = \{(q, \varepsilon)\}</tex> и <tex>w</tex> не может иметь длину больше единицы. Таким образом, <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.** Индукционный переход: <br> Предположим, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w </tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. По построению вывод должен иметь вид <tex>[p X z_kr_k] \Rightarrow a [r r_0 \gamma_1 z_1r_1] [z_1 r_1 \gamma_2 z_2r_2] \ldots [z_r_{k - 1} \gamma_k z_kr_k] \Rightarrow^* w</tex>, где <tex>z_k r_k = q</tex> и <tex>(rr_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex>. Вновь представим <tex>w</tex> в виде <tex>w = a w_1 w_2 \ldots w_k</tex> так, что <tex>[z_r_{i - 1} \gamma_i z_ir_i] \Rightarrow^* w_i</tex>. Так как все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> шагов, то по индукционному предположению для всех <tex>i</tex> выполнено <tex>(z_r_{i - 1}, w_i, \gamma_i) \vdash^* (z_ir_i, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Собирая всё вместе, получаем <tex>(rr_0, w_1 w_2 \ldots w_k, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \vdash^* (z_1r_1, w_2 w_3 \ldots w_k, \gamma_2 \gamma_3 \ldots \gamma_k) \vdash^* \ldots \vdash^* (z_kr_k, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Так как <tex>(rr_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex> и <tex>z_k r_k = q</tex>, то в итоге <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.

|statement = Для любого МП-автомата существует эквивалентный МП-автомат с допуском по пустому стеку существует эквивалентный МП-автомат без <tex>\varepsilon</tex>-переходов.