Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|id = deficit
|definition=
'''Дефицитом''' (англ. ''deficit'') графа <tex>G </tex> мы будем называть величину: <br>
<tex>\mathrm{def}(G) = |V| - 2\alpha (G)</tex>, <br>
где <tex>\alpha (G)</tex> {{- --}} размер [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#theorem1|максимального паросочетания]] в <tex>G</tex>, а <br><tex>V(G)</tex> {{--- }} множество вершин графа <tex>G. </tex>}}{{Определение|definition =<tex>\mathrm{odd}({G})</tex> {{---}} число нечетных компонент связности в графе <tex>{G}</tex>, где '''нечетная компонента''' (англ. ''odd component'') {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин.
}}
{{Лемма
|statement= <tex>(n + |S| + odd(G \setminus S)) \; \equiv \; 0 \; ( mod \; 2) \; </tex>, где <tex>G</tex> {{---}} граф с <tex>n</tex> вершинами, <tex>S \in {V}_{G}</tex>
|proof=
Удалим из графа <tex>G</tex> множество <tex>S</tex>, получим <tex>t</tex> компонент связности, содержащих <tex>k_1, k_2 ... k_t</tex> вершин соответственно.
<tex>|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i \; = \; n \; </tex>, так как в сумме это все вершины исходного графа <tex>G</tex>.
Возьмем данное равенство по модулю два: <tex>(|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i) \; \equiv \; n \; (mod \; 2)</tex>
В сумме <tex>\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)</tex> число единиц равно числу нечетных компонент <tex>odd(G \setminus S)</tex>. Таким образом, <tex> \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n \; (mod \; 2) \;</tex>.
}}
{{Теорема
|id = Th_Berge
|about=Бержа
|statement=
Для любого графа <tex>G </tex> выполняется:<br><tex>\mathrm{def}(G) = \max_max\limits_{S \subset V(G)} \{\mathrm{odd}(G - S) - |S|\}.</tex>|proof= <tex> \forall S \in V : \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; \equiv \; n ( mod \; 2) \;</tex> Рассмотрим несколько случаев: 1. Если <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; = 0 \; </tex>, тогда для любых <tex>S \in V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; </tex>, следовательно выполнено условие [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания|теоремы Татта]], значит, в графе есть совершенное паросочетание, то есть его дефицит равен нулю. 2. Если <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; </tex>, тогда рассмотрим исходный граф <tex>G</tex> и полный граф <tex>K_k</tex> с <tex>k</tex> вершинами, <tex>W</tex> - вершины <tex>K_k</tex>. Каждую вершину <tex>K_k</tex> соединим с каждой вершиной <tex>G</tex>. Получим граф <tex>H \; = \; K_k + G \;</tex>, докажем, что для него выполнено условие теоремы Татта. Докажем, что для любых <tex>S \in V_{H}: odd(H \setminus S) \; \leq \; |S| \; </tex>. Рассмотрим <tex>S \; \subset \; V_H\;</tex>: * Если <tex>W \not\subset S</tex>, тогда поскольку граф <tex>K_k</tex> полный и все его вершины связаны с каждой вершиной графа <tex>G</tex>, то граф <tex>H</tex> связный и <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 0 \;</tex> или <tex>odd(G \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>. ** В случае <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 0 \; </tex> условие очевидно выполняется, так как для любых <tex>S \in G : 0 \; \leq \; |S| \;</tex>. ** Рассмотрим случай <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>, <tex>|V_H| \; = \; n \; + \; k \; = \; n \; + \; odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; </tex>, где <tex>A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) \; - \; |S|) \; </tex>. Разность <tex>odd(G \setminus A) \; - \; |A| \; </tex> имеет ту же четность, что и <tex>n</tex>, и <tex>odd(H \setminus S) \; = \; 1 \;</tex>, поэтому <tex>|V_H|</tex> четно, значит, по лемме, мощность <tex>S</tex> нечетна, следовательно она не равна нулю, значит, <tex> 1 \leq |S| </tex>. * Если <tex>W \subset S \;</tex>, то <tex>odd(H \setminus S) \; = \; odd(G \setminus (S \cap V)) \; = odd(G \setminus (S \cap V)) \; - \; |S \cap V| \; + \; |S \cap V| \; \leq \; |S \cap V| \; + \; k \leq |S| \; </tex>, так как <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k \; </tex>. Таким образом, для графа <tex>H</tex> выполнено условие теоремы Татта, следовательно в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе <tex>H</tex>, удалим вершины <tex>W</tex> из графа <tex>H</tex>. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин <tex>k</tex>, значит, <tex>def(G) \; \leq \; k</tex>. Удалим множество вершин <tex>A \; = \; arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) \; - \; |S|) \; </tex> из графа <tex>G\;</tex>. Заметим, что после удаления в графе осталось <tex>odd(G \setminus A)\; </tex> нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом число нечетных компонент больше числа удаленных на <tex>k</tex>. Значит, хотя бы <tex>k</tex> нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, следовательно <tex>def(G) \; \geq \; k \; </tex>. Из <tex>def(G) \; \leq \; k</tex> и <tex>def(G) \; \geq \; k \; </tex> следует <tex>def(G) \; = \; k \; </tex>.
}}
{{Теорема
|id = theorem_Tatt_Berge
|about=Татта-Бержа
|statement=
Дан граф <tex>G</tex>, размер максимального паросочетания в нем равен:<br>
<tex>\mathrm{ \alpha} (G) = \min_min\limits_{U \in V} \{\dfrac{1}{2}(|V|+|U|-\mathrm{odd}(G - U)\}. </tex>|proof=Предположим <tex>G</tex> {{---}} связный, иначе мы можем применить индукцию к компонентам <tex>G</tex>. Приведем доказательство по индукции по числу вершин в графе. <br><u> ''База индукции:''</u> <br>Очевидно, для <tex> n = 1 </tex> утверждение верно. <br><u> ''Индукционный переход:''</u> <br>Рассмотрим два случая:# <tex>G</tex> {{---}} содержит вершину <tex>v</tex> покрытую всеми максимальными паросочетаниями (например средняя вершина)#: Тогда <tex> \mathrm{\alpha}(G - v) = \mathrm{\alpha}(G) - 1</tex>.#: По индукции, формула Татта-Берджа содержит <tex>G - v</tex> для некоторого множества <tex>U'</tex>. Пусть <tex>U = U' \bigcup v</tex>. Тогда:#: <tex> \mathrm{\alpha}(G) = \mathrm{\alpha}(G - v) + 1 = \dfrac{1}{2}(|V- v|+|U -v| - \mathrm{odd}(G - v - (U - v))) + 1 = </tex>#: <tex> = \dfrac{1}{2}(|V| - 1 + |U|- 1 -\mathrm{odd}(G-U)) + 1 = \dfrac{1}{2}(|V|+|U| - \mathrm{odd}(G - U)). </tex>#:# Для каждой вершины <tex>v</tex> есть максимальное паросочетание <tex>M</tex> которое не покрывает <tex>v</tex> (например <tex>C_3</tex>)#:#: Покажем, что существует паросочетание размера <tex> \dfrac{1}{2}(|V| - 1) </tex>, из которого следует теорема (при <tex> U = \emptyset </tex>).#: <u> ''От противного:''</u>#: Предположим что любое максимальная паросочетание <tex> M </tex> не покрывает, по крайней мере, две различные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Среди всех таких <tex> (M, u, v) </tex> выберем их так, что <tex> \mathrm{d}(u, u) </tex> в <tex> G </tex> {{---}} минимально.#: Если <tex> \mathrm{d}(u, u) = 1 </tex>, то <tex> u </tex> и <tex> v </tex> являются смежными, и, следовательно, мы можем увеличить <tex> M </tex>, что противоречит его максимальности.#: Значит <tex> \mathrm{d} (u, u) \geqslant 2 </tex>, и, следовательно, мы можем выбрать промежуточную вершину <tex> t </tex> на пути <tex> u-v </tex> и <tex> N </tex> максимальное паросочетание, такое что симметрическая разность с <tex> M </tex> минимальна. Так как <tex> (M, u, v) </tex> минимально, то <tex> N </tex> должно охватывать <tex> u </tex> и <tex> v </tex> так, что есть другая вершина <tex> x </tex>, покрытая только в <tex> M </tex>.#: Пусть <tex> y </tex> будет вершиной покрытой с <tex> x </tex> в <tex> M </tex> и заметим <tex> y \neq t </tex> (иначе можно было бы добавить к <tex> N </tex>). Пусть <tex> z </tex> будет вершиной покрытой с <tex> y </tex> в <tex> N </tex> и заметим <tex> z \neq x </tex> (так как <tex> x </tex> не покрыто в <tex> N </tex>). Тогда <tex> N - yz + xy </tex> {{---}} паросочетание, которое имеет с <tex> M </tex> меньшую симметрическую разность, что противоречит выбору <tex> N </tex>.
}}
{{Определение
|id=barrier
|definition=
Множество <tex>S \subset V (G)</tex>, для которого <tex>\mathrm{odd}(G - S) - |S| = \mathrm{def}(G) </tex>, называется '''барьером'''(англ. ''barrier'').
}}
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X \subset V </tex>. '''Множeство соседей''' (англ. ''neighbors'')<tex>X</tex> определим формулой: <tex>N(X)= \{ y \in V: (x,y) \in E \}</tex>
}}
==Структурная теорема Эдмондса-Галлаи==
{{Определение
|neat = 1
|definition=
# <tex>A(G) = N(D(G)) \setminus D(G)</tex>
# <tex>C(G) = V \setminus( D(G) \bigcup A(G) )</tex># <tex> \alpha (G) </tex> {{- --}} размер максимального паросочетания в <tex>G. </tex> (англ. ''maximum matching in G'')
}}
[[Файл: EG_red.png|300px|thumb|right|Пример. Рёбра из паросочетания выделены красным]]
{{Определение
|definition=
Граф <tex>G</tex> называется '''фактор-критическим''' (англ. ''factor-critical graph''), если для любой вершины <tex>v \in G</tex> в графе <tex>G \setminus {v}</tex> существует [[Теорема Холла#def1|совершенное паросочетание]].
}}
{{Теорема
|id = theorem_Gallai
|about=Галлаи
|statement=
<tex>G</tex> {{- --}} фактор-критический граф <tex> \Leftrightarrow </tex> <br><tex>G</tex> {{--- }} связен и для любой вершины<tex> u \in V(G) </tex> выполняется равенство <tex> \alpha (G - u) = \alpha (G)</tex>.
}}
{{Лемма
|id = stability_lemma
|about= Галлаи, о стабильности (англ. ''stability lemma'')
|statement=
# <tex> \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1.</tex>
|proof=
'''a.''' Путь <tex>P</tex> кончается ребром из <tex> M'</tex> (см. рисунок)<br>
Рассмотрим паросочетание <tex>M_v = M_w \oplus E(P)</tex> (симметрическая разность
<tex> M_w </tex> и <tex>E(P)</tex>. то есть, рёбра, входящие ровно в одно из двух множеств).Очевидно, <tex>M_v</tex> {{--- }} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>v</tex>, поэтому <tex> v \in D(G)</tex>, противоречие. <br>
'''c.''' Путь <tex> P </tex> кончается ребром из <tex> M_w, a \in V(P) </tex> (см. рисунок)
Рассмотрим паросочетание <tex> M'' = M \oplus E(P) </tex>. Тогда <tex> |M''| = |M'| + 1 </tex>, причём <tex>M'' \subset E(G - a)</tex>. Противоречие с максимальностью паросочетания <tex>M'</tex>.
Таким образом, наше предположение невозможно и <tex>D(G - a) \subset D(G)</tex>.
А значит, <tex>D(G - a) = D(G)</tex>.
}}
{{Теорема
|id = theorem_Gallai_Edmonds
|about = Галлаи, Эдмондс
|statement=
Пусть <tex>G </tex> {{--- }} граф, <tex>U_1,{...},\ldots U_n</tex> {{--- }} компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, <tex>D_i = G(U_i), C = G(C(G))</tex>. тогдаТогда:
# Граф <tex>C</tex> имеет совершенное паросочетание.<br>
# Графы <tex>D_1,{...},\ldots D_n</tex> {{- --}} фактор-критические. <br># Любое максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> состоит из совершенного паросочетания графа <tex>C</tex>, почти совершенных паросочетаний графов <tex>D_1,{...},\ldots D_n</tex> и покрывает все вершины множества <tex>A(G)</tex> рёбрами с концами в различных компонентах связности <tex>U_1,{.\ldots U_n..},U_n</tex> <br># <tex>\mathrm{def}(G) = n - |A(G)|, .</tex> <br># <tex>2\mathrm{\alpha}(G) = v(G) + |A(G)| - n</tex>.
|proof=
[[Файл: Edmonds-Gallai_2.png|300px|thumb|right|Пример]]
<tex>def(G') = (|V| - 1)- 2 \cdot |M'| = |V| - 2 \cdot |M| + 1 = def(G) + 1</tex>
<tex>odd(G - (B'\cup x)) = odd(G' - B') = </tex><tex>|B'| + def(G') = |B'| + 1 + def(G) = |B'\cup x| + def(G)</tex>Отсюда следует, что <tex>B</tex> {{---}} барьер графа <tex>G</tex>. }}
{{УтверждениеТеорема|id=barier_struct3 |about=следствие из теоремыо структуре барьера|statement=Любой барьер графа состоит только из вершин <tex>A(G)\cup C(G)</tex> , причём каждая вершина из этого множества входит в какой- '''то барьер''' графа |proof=По лемме о связи барьера с <tex>D(G)</tex> мы знаем, что в барьере нет вершин вершин из <tex>D(G)</tex>. По лемме о дополнение барьера мы можем взять любую вершину из <tex>A(G)\cup C(G)</tex>, удалить из графа, и с помощью барьера нового графа получить барьер исходного, включающий данную вершину.
}}
== См. также ==
* [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания]]
* [[Лапы и минимальные по включению барьеры в графе]]
* [[Пересечение всех максимальных по включению барьеров]]
== Источники информации==
*[http://www.people.vcu.edu/~dcranston/691/edmonds-gallai.pdf Edmonds-Gallai Decomposition and Factor-Critical Graphs]
*[http://logicimmorlica.pdmicom/combOpt/lec2.ras.rupdf Edmonds-Gallai Decomposition, Edmonds’ Algorithm]*[https:/~dvk/211www.youtube.com/graphs_dkwatch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.pdf ДС.В Карпов - теория графовСтанкевича]
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Задача о паросочетании]]