Изменения

== Неравенство Коши — Буняковского == {{ОпределениеТеорема|definitionabout =<b>Ковариация неравенство Коши — Буняковского| statement = Если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин</b>: пусть ковариацию <tex>\langle \eta,\xi\rangle = Cov (\eta, \xi)</tex> — две случайные , то квадрат нормы случайной величиныбудет равен дисперсии <tex> ||\eta||^2 = D [ \eta ], определённые на одном </tex> и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом<b>Неравенство Коши-Буняковского</b> запишется в виде:: <tex>Cov^2(\eta,\xi)=E\big((leqslant \mathrm{D}[\eta-E] \eta)(cdot \xi-Emathrm{D}[\xi)\big)]</tex>.}}|proof= Докажем, что ковариацию можно использовать в качестве скалярного произведения:

1. Линейность по первому аргументу:<tex> Cov( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}, \xi) == Вычисление ==Cov( \mu_{1}\eta, \xi) + Cov( \mu_{2}\eta, \xi)</tex>

В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана какРаскроем ковариацию по определению:

:<tex>Cov(\eta, mu_{1}\xi) = Ecdot\big((eta_{1} + \xi - Emu_{2}\xi)(cdot\eta - Eeta_{2}, \eta)\bigxi) = E( (\xi\eta - mu_{1}\eta Ecdot\xi eta_{1} + E\xi Emu_{2}\eta - cdot\xi Eeta_{2}) \eta) = </tex>:<tex>= E(cdot \xi\eta) - E( \xi E\eta - Emu_{1}\xi Ecdot\eta eta_{1} + E\xi E\eta = E(mu_{2}\xicdot\etaeta_{2} ) - \cdot E\xi E\eta </tex>

<tex> E(\mu_{1}\cdot\eta_{1}\cdot\xi) + E(\mu_{2}\cdot\eta_{2}\cdot\xi) - E(\mu_{1}\cdot\eta_{1})\cdot E\xi - E(\mu_{2}\cdot\eta_{2})\cdot E\xi = \mu_{1}( E(\eta_{1}\cdot\xi) - E\eta_{1}\cdot E\xi ) + \mu_{2}( E(\eta_{2}\cdot\xi) - E\eta_{2}\cdot E\xi ) = Свойства ковариации == \mu_{1} \cdot Cov(\eta_{1}, \xi) + \mu_{2} \cdot Cov(\eta_{2}, \xi)</tex>

* Ковариация симметрична2. Симметричность:: <tex>Cov(\eta,\xi) = CovE(\xi,\eta)</tex>.* Пусть <tex>\eta_1,cdot\ldots, \eta_n</tex> случайные величины, а <tex>\xi_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i \eta_i,\; \xi_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j \eta_j</tex> их две произвольные линейные комбинации. Тогда: <tex>Cov(\xi_1,\xi_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j Cov(\eta_i,\eta_j)</tex>.* Ковариация случайной величины с собой равна её дисперсии:: <tex>Cov(\eta,\eta) = E(\eta^2xi) - (E(\eta))^2 = D[\eta]</tex>.* Если <tex>\eta,cdot E\xi</tex> независимые случайные величины, то: <tex>= Cov(\etaxi,\xieta) = 0</tex>.Обратное, вообще говоря, неверно.

{{Теорема| about = неравенство Коши — Буняковского| statement = Если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию <tex>\langle \eta, \xi \rangle = Cov (\eta, \xi)</tex>, то квадрат нормы случайной величины будет равен дисперсии <tex> ||\eta||^2 = D [ \eta ], </tex> и <b>Неравенство Докажем неравенстов Коши-Буняковского</b> запишется в виде:: <tex>Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex>.

|proof= Для этого предположим, что <tex> t </tex> {{---}} некоторое вещественное число, и рассмотрим очевидное неравенство