Изменения
Ошибка в формуле
==Числа Эйлера I рода==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - — соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > < b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (англ. ''ascent'') данной перестановки.
}}
'''''Числа Эйлера I рода''''' (англ. ''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex dpi=190>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.
===Вывод рекуррентной формулы===
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\ldots \pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером <tex>n </tex> в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\ldots \theta_p, n, \theta_q...\ldots \theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:
Тогда рекуррентная формула имеет вид:
:<texdpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle </tex> <tex> = (m + 1)</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle </tex> <tex> + (n - m)</tex> <tex dpi=180>\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex>
Примем также следующее начальное значение:
:<texdpi=190>\left\langle{0\atop m}\right\rangle </tex> <tex> = [m = 0]</tex>,Запись [выражение] означает [<ref>http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию нотация Айверсона]</ref>.
===Пример===
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно <tex>2 </tex> подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд)::<texdpi=190> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = 11:
[124]3,
[13][24],
</tex>
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '<tex>4' </tex> в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:
:<texdpi=190>\left\langle{3\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = 1:[123] => \Rightarrow (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3
</tex>
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на <tex>1</tex>:
:<texdpi=190> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle </tex> <tex> = 4:</tex>
:<tex>[13]2 => \Rightarrow [13(4)]2, [13][2(4)];</tex>
:<tex>2[13] => \Rightarrow [2(4)][13], 2[13(4)];</tex>
:<tex>[23]1 => \Rightarrow [23(4)]1, [23][1(4)];</tex>
:<tex>3[12] => \Rightarrow [3(4)][12], 3[12(4)];</tex>
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:
:<texdpi=190> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = (2 + 1) </tex> <tex dpi=190>\left\langle{3\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> + (4 - 2)</tex> <tex dpi=190>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle </tex> <tex> = 11;</tex>
|}
===Явная формулаЯвные формулы===Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = \sum\limits_{j=1}^{m+1} (-1)^{m-j+1} {n+1\choose m-j+1}j^{n}</tex>:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j {n+1\choose j} (m+1-j)^n</tex>
*<tex>G_{w, z}^{n} :=\{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \leqslant z \}</tex> — полупространство;*<tex>I^n :==Свойства===[0,1]^n</tex>;*<tex>[[Файлn] :EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = \{1,2\ldots n\}</tex>;*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> — подмножество <tex>\{1, 2\ldots n = 1. V = \}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны <tex>1</2]]tex>, а остальные {{---}} нули; [[Файл*Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ :EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 3(\max{\{r, 0\}})^n = 2</tex>. V = 1/6]]
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]][[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Сумма всех значений каждого ряда равна Вектор <tex> 1_{[n! ]}</tex>::(все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+\ldots +x_n = m | m+1</tex>) {{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\sumprod\limits_{ki=01}^{n} \left\langlew_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \atop mcdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}}скалярное произведение <tex>w \right\rangle = cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n!- |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>,\ так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \ge 0, \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых,где <tex>j = |K|</tex>.
# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:#:<texdpi=190>\mathrm{Vol}_left\langle{n\atop m}(W_n^k) \right\rangle = \mathrmleft\langle{Vol}_nn\atop (G_{1_{[n]-1) - k}\right\rangle</tex><tex>,k+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]}geqslant 1,\ 0 \leqslant k}^{\leqslant n} -1. \cap I^, </tex># Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n)! </tex>:#:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{jm=0}^{k+1}(-1)^{jn}</tex><tex dpi=190> \left\langle{n \choose j}(k+1-j)^{natop m} - \sumright\limits_{jrangle</tex> <tex> =0}^{k}(-1)^{j}{n !,\choose j}(k-j)^{n}]\geqslant 0, \,</tex># Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:#:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{jm=0}^{k+1}n (-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^nm </tex>:<texdpi=190> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop km}\right\rangle}</tex> <tex>{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex> 5. # Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\fracdfrac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.
==Числа Эйлера II рода==
'''''Числа Эйлера II рода''''' (англ. ''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140190"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex>
'''Пример'''
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует <tex>15 </tex> перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, <tex>8 </tex> штук имеют всего <tex>1 </tex> подъем, и <tex>6 </tex> перестановок имеют <tex>2 </tex> подъема:
:<tex> 332211,\; </tex>
{{Лемма
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.
|neat proof = Докажем лемму методом математической индукции. *'''База'''. Для <tex>n=1</tex> очевидно, что существует только одна такая перестановка.*'''Переход'''. Рассмотрим какую-нибудь перестановку длины <tex>2n</tex>. Таких перестановок <tex>(2n-1)!!</tex>. Теперь докажем, что перестановок длины <tex>2(n+1)</tex> будет <tex>(2(n+1)-1)!!</tex>. Попробуем вставить два числа <tex>n + 1</tex>. Очевидно, что их нельзя вставить не на соседние места, так как в таком случае между ними точно будут меньшие элементы. Но их можно вставить в любые два соседних места, так как они больше всех чисел в перестановке, а значит они не нарушат свойства для других элементов. Таким образом два новых элемента можно вставить в <tex>2n+1</tex> место. В итоге перестановок длины <tex>2(n+1)</tex> будет <tex>(2n-1)!!\cdot (2n+1)=(2n+1)!!=(2(n+1)-1)!!</tex>.
}}
===Рекуррентная формула===
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:
:<texdpi=190> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex> <tex> = (2n-m-1) </tex> <tex dpi=180>\left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex> <tex> + (m+1) </tex> <tex dpi=190>\left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex>
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:
:<texdpi=190> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex> <tex> = [m=0]. </tex>
===Треугольник чисел Эйлера II рода===
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le leqslant n \le leqslant m \le leqslant 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.
:::{| class="number_triangle"
|}
==СсылкиСм. также ==* [[Комбинаторные_объекты#.D0.9F.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BA.D0.B8|Перестановки]]* [[Числа_Стирлинга_первого_рода|Числа Стирлинга первого рода]]* [[Числа_Стирлинга_второго_рода|Числа Стирлинга второго рода]]* [[Числа_Каталана|Числа Каталана]] ==Примечания==<references/> ==Источники информации==
<references/>
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]