Изменения
→Решение за время O(N2)
==Решение за время O(N<sup>2</sup>)==
Модифицируем предыдущее решение, добавив небольшую "хитрость". Теперь <tex> d[i][j] </tex> - это длина наибольшей общей возрастающей подпоследовательности префиксов <tex> a[1..i] </tex> и <tex> b[1..j] </tex>, причем элемент <tex> b[j] </tex> - последний представитель НОВПмассива <tex> b </tex>, а <tex> a[i] </tex> может не быть таковымпоследним в массиве <tex> a </tex>. Вычислять <tex> d </tex> будем всё так же: сначала по увеличению <tex> i </tex>, а при равенстве - по увеличению <tex> j </tex>. Тогда для очередного значения <tex> d[i][j] </tex> есть два варианта:
*<tex> a[i] </tex> не входит в НОВП. Тогда <tex> d[i][j] = d[i-1][j] </tex>: значение динамики уже посчитано на префиксе <tex> a[1..i-1] </tex>.
*<tex> a[i] </tex> входит в НОВП. Это значит, что <tex> a[i] = b[j] </tex>, то есть для подсчёта <tex> d[i][j] </tex> нужно пробегать циклом по <tex> b </tex> в поисках элемента <tex> b[k] < b[j] </tex> с наибольшим значением <tex> d[i-1][k] </tex>. Но мы считаем <tex> d </tex> сначала по увеличению <tex> i </tex>, поэтому будем считать <tex> a[i] </tex> ''фиксированным''. Чтобы не запускать цикл при каждом равенстве <tex> a[i] </tex> элементу <tex> b[k] </tex>, в дополнительной переменной <tex> best </tex> будем хранить "лучший" элемент (и его индекс <tex> ind </tex> в массиве <tex> b </tex>) такой, что этот элемент строго меньше <tex> a[i] </tex> (а также меньше <tex> b[k] </tex>) и значение динамики для него максимально: <tex> b[ind] < a[i] = b[k] </tex> и <tex> best = d[i-1][ind] \rightarrow max. </tex> max.
vector<int> '''LCIS'''(vector<int> a, vector<int> b)
pos = prev[pos]
'''return''' answer
=== Доказательство оптимальности ===
В данной задаче используется принцип оптимальности на префиксе. Использование дополнительной переменной для подсчета всех случаев <tex> a[i] = b[j] </tex> не влияет на корректность алгоритма - это всего лишь уловки реализации. Поэтому покажем, что для вычисления очередного значения <tex> d[i][j] </tex> мы используем оптимальность на подзадачах и обращаемся к уже посчитанным значениям.
Напомним, как обозначается динамика: <tex> d[i][j] </tex> - это НОВП на префиксах <tex> a[1..i] </tex> и <tex> b[1..j] </tex>, где последним элементом НОВП является элемент <tex> b[j] </tex>, а <tex> a[i] </tex> может не быть равен <tex> b[j] </tex> (то есть элемент <tex> a[i'] = b[j] </tex> лежит где-то в префиксе <tex> a[1..i] </tex>). Итак, для <tex> d[i][j] </tex> есть два варианта:
* <tex> a[i] \neq b[j] </tex>, тогда <tex> a[i] </tex> не влияет на результат, и последний элемент НОВП <tex> a[i'] = b[j] </tex> лежит в <tex> a[1..i-1] </tex>.
* <tex> a[i] = b[j] </tex>, тогда <tex> a[i] </tex> и <tex> b[j] </tex> - последние элементы НОВП префиксов <tex> a[1..i] </tex> и <tex> b[1..j] </tex>: <tex> b[j] </tex> - по определению динамики, а <tex> a[i] </tex> как элемент, который может стать последним, не ухудшая результат. Действительно, последовательность строго возрастает, поэтому если в префиксе <tex> a[1..i-1] </tex> есть элемент <tex> a[k] = b[j] </tex>, то его можно заменить на элемент <tex> a[i] </tex> без уменьшения длины НОВП. Если же в <tex> a[1..i-1] </tex> такого элемента нет, то <tex> a[i] </tex> - единственный из возможных вариантов. Итак, <tex> a[i] </tex> и <tex> b[j] </tex> - последние элементы НОВП. Значит, начало НОВП (<tex> d[i][j] </tex>) лежит в префиксах <tex> a[1..i-1] </tex> и <tex> b[1..j-1] </tex> (значения для которых уже посчитаны). Мы ищем элемент <tex> b[k] < b[j] </tex> с лучшей динамикой <tex> d[i-1][k] </tex>, что удовлетворяет условию возрастания последовательности и автоматически гарантирует, что конец такой НОВП лежит в префиксе <tex> a[1..i-1] </tex>.
== См. также ==
