21
правка
Изменения
Задача о поиске всех клик(полных подграфов) в графе, in progress
Таким образом, '''bfs-ом''' из двух концов, мы сгенерируем максимум <tex> {O({K^{N/2}})} </tex> состояний.
== Задача о количестве всех полных подграфов в графе ==
Дан граф <tex>G</tex>, в котором <tex>N</tex> вершин. Требуется подсчитать количество полных подграфов графа <tex>G</tex> (такие подграфы также называются '''кликами''').
Наивное решение - перебор всех возможных подграфов и проверка для каждого, что он является кликой, сложность - <tex>O(2^N \times N^2)</tex>
Этот алгоритм можно улучшить до <tex>O(2^N)</tex>. Для этого нужно в рекурсивной функции перебора хранить маску вершин, которые мы ещё можем добавить. Поддерживая эту маску, можно добавлять только «нужные» вершины, и тогда, не нужно будет в конце проверять подграф на то что он — клика. Добавлять вершину можно за <tex>O(1)</tex>, используя побитовое «и» текущей маски и строчки матрицы смежности добавляемой вершины.
Решение с meet-in-the-middle.
Разбиваем граф <tex>G</tex> на 2 графа <tex>{G}_1</tex> и <tex>{G}_2</tex> по <tex>N/2</tex> вершин. Находим за <tex>O(2^{N/2})</tex> все клики в каждом из них.
Теперь надо узнать для каждой клики графа <tex>{G}_1</tex> количество клик графа <tex>{G}_2</tex>, таких, что их объединение — клика. Их сумма и есть итоговый ответ.
Для одной клики <tex>K</tex> графа <tex>{G}_1</tex> может быть несколько подходящих клик в <tex>{G}_2</tex>. Единственным объектом для клики <tex>K</tex> является маска вершин графа <tex>{G}_2</tex>, которые ещё можно добавить. Для каждой такой маски в {G}_2</tex> нужно предподсчитать ответ.
С помощью метода динамического программирования предподсчитаем для каждой маски вершин графа {G}_2</tex> количество клик, вершины которой являются подмножеством выбранной маски. Количество состояний - <tex>2^{N/2}</tex>. Количество переходов:<tex>N</tex> . Асимптотика - <tex>O(2^{N/2} \times N)</tex>.
Для каждой клики <tex>K</tex> (в том числе и пустой) графа <tex>{G}_1</tex> прибавим к глобальному ответу предподсчитанное количество клик, которые можно добавить к <tex>K</tex> (В том числе и пустых). Асимптотика: <tex>O(2^{N/2})</tex>.
== См. также ==
*[http://infoarena.ro/blog/meet-in-the-middle Meet-in-the-middle]
*[http://g6prog.narod.ru/dpl.ps Лекции по информатике (36 страница)]
*[http://habrahabr.ru/post/191266/ Meet-in-the-middle: оптимизация перебора и не только]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Динамическое программирование ]]
