38
правок
Изменения
→Неравенство Коши — Буняковского
== Неравенство Коши — Буняковского ==
{{Утверждение
| statement =
Ковариация есть скалярное произведение двух случайных величин
|proof=
Докажем три аксиомы скалярного произведения:
1. Линейность по первому аргументу:
<tex> Cov( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}, \xi) = Cov( \mu_{1}\cdot\eta, \xi) + Cov( \mu_{2}\cdot\eta, \xi)</tex>
Раскроем ковариацию по определению:
<tex>Cov( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}, \xi) = E( ( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}) \cdot \xi ) - E( \mu_{1}\cdot\eta_{2} + \mu_{2}\cdot\eta_{2} )\cdot E\xi </tex>
В силу [[Математическое ожидание случайной величины#Линейность математического ожидания | линейности математического ожидания]]:
<tex>
E(\mu_{1}\cdot\eta_{1}\cdot\xi) +
E(\mu_{2}\cdot\eta_{2}\cdot\xi) -
E(\mu_{1}\cdot\eta_{1})\cdot E\xi -
E(\mu_{2}\cdot\eta_{2})\cdot E\xi =
\mu_{1}( E(\eta_{1}\cdot\xi) - E\eta_{1}\cdot E\xi ) +
\mu_{2}( E(\eta_{2}\cdot\xi) - E\eta_{2}\cdot E\xi ) =
\mu_{1} \cdot Cov(\eta_{1}, \xi) + \mu_{2} \cdot Cov(\eta_{2}, \xi)
</tex>
2. Симметричность:
<tex> Cov(\eta, \xi) = E(\eta\cdot\xi) - E\eta \cdot E\xi = Cov(\xi, \eta)</tex>
3. Положительная определенность:
<tex> Cov(\eta, \eta) = D(\eta) = E(\eta - E\eta)^2 </tex>
<tex> Cov </tex> удовлетвотряет трем аксиомам, значит <tex> Cov </tex> можно использовать в качестве скалярного произведения.
}}
{{Теорема
неравенство Коши — Буняковского
| statement =
Если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию <tex>\langle \eta, \xi \rangle = Cov (\eta, \xi)</tex>, то квадрат нормы случайной величины будет равен дисперсии <tex> ||\eta||^2 = D [ \eta ], </tex> и <b>Неравенство неравенство Коши-Буняковского</b> запишется в виде:
: <tex>Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex>.
