Изменения

'''Алгоритм D*''' {{---}} алгоритм поиска кратчайшего пути во [[Основные определения теории графов|взвешенном ориентированном графе]], где структура графа неизвестна заранее или постоянно подвергается изменению. Разработан Свеном Кёнигом и Максимом Лихачевым в 2002 году.

Дан [[Основные определения теории графов|взвешенный ориентированный граф ]] <tex> G(V, E) </tex>. Даны вершины : стартовая вершина <tex>s_{start}f</tex> и конечная вершина <tex>s_{goal}t</tex>. Требуется после каждого изменения графа <tex>G</tex> уметь вычислять функцию <tex>g(s)</tex> для каждой известной вершины <tex>s \in V</tex>

Обозначим множество Функция <tex>Succg(s) \in V</tex> как множество вершин, исходящих будет возвращать наименьшую стоимость пути из вершины <tex>f</tex> в <tex>s</tex>. Её значение для алгоритма будет почти аналогичным значению в [[Алгоритм A* | алгоритме A*]], за исключением того, что в данном алгоритме наc интересуют только <tex>g(s)</tex>-значения известных вершин на данной итерации.

Аналогично Будем поддерживать для каждой вершины два вида смежных с ней вершин:* Обозначим множество <tex>Succ(s) \subseteq V</tex> как множество вершин, исходящих из вершины <tex>s</tex>. * Обозначим множество <tex>Pred(s) \in subseteq V</tex> как множество вершин, входящих в вершину <tex>s</tex>.

Функция <tex>0 \leqslant сc(s, s') \leqslant +\infty</tex> будет возвращать стоимость перехода из вершины ребра <tex>(s, s')</tex> в вершину . При этом <tex>c(s, s') = +\infty</tex>. При этом будет тогда и только тогда, когда ребра <tex>(s, s' \in Succ(s)</tex>не существует.

Функция {{Определение|definition=Будем называть '''rhs-значением''' (англ. ''right-hand side value'') такую функцию <tex>grhs(s)</tex> , которая будет возвращать последнее известное потенциальное минимальное расстояние от <tex>f</tex> до <tex>s</tex> по следующим правилам:<tex>rhs(s) = \begin{cases}0,& \text{if } s = f \\\min\limits_{s' \in Pred(и самое s)}(g(s') + c(s', s),& \text{otherwise}\end{cases}</tex>Так как rhs-значение использует минимальное) значение расстояния из минимальных расстояний от <tex>f</tex> до вершин, входящих в данную вершину <tex>s</tex>, это будет нам давать информацию об оценочном расстоянии от вершины <tex>s_{start}f</tex> до <tex>s</tex>.}}

Если {{Определение|definition=Вершина <tex>s = s_{start}</tex>:<tex dpi="120">rhsназывается '''насыщенной''' (sангл. ''locally consistent'') = 0, если </tex>Иначе :<tex dpi="120">rhsg(s) = min_{s' \in Predrhs(s)}(g(s') + c(s', s)</tex>}}

{{Определение|definition=Вершина <tex>s</tex> может быть 3-х видов:* насыщенаназывается '''переполненной''' (англ. ''locally overconsistent''), если <tex>g(s) = > rhs(s)</tex>* переполнена, если }} {{Определение|definition=Вершина <tex>g(s) > rhs(s)</tex>* ненасыщенаназывается '''ненасыщенной''' (англ. ''locally underconsistent''), если <tex>g(s) < rhs(s)</tex>}}

Функция [[Эвристики для поиска кратчайших путей|Эвристическая функция]] <tex>keyh(s)</tex>, где <tex>s')</tex> - вершинатеперь должна быть неотрицательная и выполнять неравенство треугольника, возвращает вектор из 2-ух значений т.е. <tex>k_1h(s)</tex>t, <tex>k_2(st)= 0</tex>. * и <tex>k_1h(s, t) = min(g\leqslant c(s), rhs(s)') + h(s', s_{goal}t)</tex>. * для всех <tex>k_2(s) = min(g(\in V</tex> и <tex>s), rhs' \in Succ(s))</tex>.

{{Определение|definition=Будем называть '''ключом''' вершины такую функцию <tex>key(s)</tex>, которая возвращает вектор из 2-ух значений <tex>k_1(s)</tex>, <tex>k_2(s)</tex>. * <tex>k_1(s) = \min(g(s), rhs(s)) + h(s, t)</tex> * <tex>k_2(s) = \min(g(s), rhs(s))</tex>,где <tex>s</tex> - вершина из множества <tex>V</tex>}}Если в конце поиска пути <tex>g(s_{goal}t) = +\infty</tex>, то мы не смогли найти путь от <tex>s_{start}f</tex> до <tex>s_{goal}t</tex> на текущей итерации. Но после следующего изменения графа путь вполне может найтись.

'''Mainfunction'''main(): { initialize() '''Initializewhile'''(); while (true) { '''ComputeShortestPath'true'' computeShortestPath(); <font color="green">// В данный момент мы знаем кратчайший путь из <tex>s_{start}</tex> f в <tex>s_{goal}t.</texfont>.

'''for ''' всех ориентированных ребер <tex>(u; , v)</tex> с измененными весами: { Обновляем результат функции c(u, v) updateVertex(v) Функция инициализации исходного графа устанавливает для всех вершин кроме стартовой вершины <tex>f</tex> значения <tex>g(s)</tex> и <tex>crhs(s)</tex> равными бесконечности. Для стартовой <tex>rhs(f)=0</tex>. Очевидно, что минимальное расстояние от стартовой вершины до самой себя должно быть равным 0, но <tex>g(u; vf)=+\infty</tex>;. Это сделано для того, чтобы стартовая вершина была ненасыщенной и имела право попасть в приоритетную очередь. '''UpdateVertexfunction'''initialize(): <font color="green">// Заведем [[Двоичная куча|приоритетную очередь]] U, в которую будем помещать вершины.</font> <font color="green">// Сортировка будет производиться по функции key(s).</font> U = <tex>v\varnothing</tex> '''for''' s <tex>\in</tex>V rhs(s) = g(s);= <tex>+\infty</tex> } rhs(f) = 0 }U.insert(f, calcKey(f)) Функция <tex>key(s)</tex>. Возвращаемые значения сортируются в лексографическом порядке, то есть сначала сортируется по <tex>k_1(s)</tex>, потом по <tex>k_2(s)</tex> }'''function''' calcKey(s): '''return''' [min(g(s), rhs(s)) + h(s, t), min(g(s), rhs(s))]

'''Initialize'''(): { //Заведем приоритетную очередь Функция несколько раз перерасчитывает значение <tex>Ug(s)</tex>, у ненасыщенных вершин в которую будем помещать вершинынеубывающем порядке их ключей. Сортировка будет производиться по функции Такой перерасчет значения <tex>keyg(s)</tex>будем называть ''расширением'' вершины. '''function''' computeShortestPath(): '''while''' U.topKey() < calcKey(t) '''or''' rhs(t) <tex>U = \varnothing;ne</tex>g(t) u = U.pop() '''if''' g(u) > rhs(u) g(u) = rhs(u) '''for ''' <tex>s </tex> <tex>\in S</tex>Succ(u) <tex>rhs UpdateVertex(s) = '''else''' g(su) = <tex>+\infty;</tex> '''for''' s <tex>rhs(s_{start}) = 0;\in</tex> U.InsertSucc(u) <tex>s_{start}\cup</tex>; CalcKey(<tex>s_\{startu\}</tex> updateVertex(s)); }

{{Теорема|about=О монотонности изменения ключей|statement=В течение выполнения функции '''UpdateVertexComputeShortestPath'''(<tex>u</tex>): { if (<tex>u \ne s_{start}</tex>) вершины, взятые из очереди, монотонно не убывают. <tex>rhs(u) |proof= min_{s' \in Pred(u)}(g(s') + c(s',u));<Доказательство [http:/tex> if (<tex>u \in U</tex>) Uwww.cs.cmu.Remove(u); if (<tex>g(u) \ne rhs(u)<edu/tex>) U.Insert(<tex>u<~maxim/tex>; CalcKey(<tex>u<files/tex>));aij04.pdf] }}

{{Теорема|about=О необратимой насыщенности|statement=Если в функции '''ComputeShortestPath'''()была взята переполненная вершина, то на следующей итерации она станет насыщенной.|proof=Доказательство [http: { while (U.TopKey() < CalcKey(<tex>s_{goal}</tex>) OR rhs(<tex>s_{goal}) \ne g(s_{goal}</tex>)) u = Uwww.cs.cmu.Pop(); if (g(u) > rhs(u)) g(u) = rhs(u); for <tex>s \in Succ(u)<edu/~maxim/tex> UpdateVertex(s); else g(u) = <tex>+\infty<files/tex>;aij04.pdf] for <tex>s \in Succ(u) \cup \{u\}</tex> UpdateVertex(s); }

Таким образом мы описали алгоритм LPA*. Он неоднократно определяет {{Теорема|statement=После выполнения функции '''ComputeShortestPath''' можно восстановить путь между вершинами из <tex>s_{start}f</tex> и в <tex>s_{goal}t</tex>. Для этого, начиная с вершины <tex>t</tex>, используя при этом данные из предыдущих итераций. Очевиднонужно постоянно передвигаться к такой вершине <tex>s'</tex>, что входящей в худшем случае <tex>t</tex>, чтобы <tex>g(s') + c(а именно когда все ребра вокруг текущей вершины изменили свой весs',s) алгоритм </tex> было минимальным, до тех пора, пока не будет работать как последовательные вызовы алгоритма А* за достигнута вершина <tex>O(n^2 \dot log(n))f</tex>. Улучшим эту оценку с помощью алгоритма D* lite|proof=Доказательство [http://www.cs.cmu.edu/~maxim/files/aij04.pdf]}}

'''Примечание''': на практике же такой подход тоже имеет место на плотных графах Таким образом мы описали алгоритм LPA*. Он вычисляет длину кратчайшего пути между вершинами <tex>f</tex> и <tex>t</tex>, используя при этом данные из предыдущих итераций. Очевидно, что в худшем случае (или матрицаха именно когда все ребра вокруг текущей вершины изменили свой вес), так алгоритм будет работать как в среднем дает оценку Опоследовательные вызовы алгоритма А* за <tex>O(n \dot cdot m \cdot \log(n))</tex>. Улучшим эту оценку с помощью алгоритма D* lite.

'''Примечание''': на практике же такой подход тоже имеет место на плотных графах (или матрицах), так как в среднем дает оценку <tex>O(n \cdot \log(n))</tex>. == Алгоритм D* (Первая версия) ==Пока что был описан только алгоритм LPA*. Он способен неоднократно определять находит кратчайшее расстояние между начальной и конечной вершинами при любом изменении данного графа. Его первоначальный поиск полностью совпадает с алгоритмом A*, но последующие итерации способны использовать информацию из предыдущих поисков.

Дан [[Основные определения теории графов|взвешенный ориентированный граф]] <tex> G(V, E) </tex>. Даны вершины <tex>f</tex> и <tex>t</tex>. Требуется в процессе движения по кратчайшему пути в графе <tex>G</tex> обновлять значения функции <tex>g(s)</tex> при поступлении новой информации о графе <tex>G</tex>. Теперь на основе LPA* опишем алгоритм D*, который способен определять расстояние между текущей вершиной <tex>s_{start}f</tex>, в которой, допустим, находится курсор/способный к сканированию местности "робот", и конечной вершиной <tex>s_{goal}t</tex> при каждом изменении графа в то время, как наш "робот " движется вдоль найденного пути. [[Файл:Схема_движения_робота_Dstar.png|350px|thumb|right|Схема движения "робота" в процессе работы алгоритма D*. Информация о серых клетках ему неизвестна до тех пор, пока они не попадут в его зону обзора. В данном примере зона обзора составляет 1 клетку в 8-ми направлениях.]]

Опишем первую версию алгоритма D*. ОчевидноТак как при движении по кратчайшему пути путь может только сокращаться и происходит изменение только стартовой вершины, что большинство вершин в процессе движения робота остаются неизменными, поэтому мы можем то можно применить алгоритм идею из алгоритма LPA*.

Теперь функция g(s) хранит минимальное известное расстояние от <tex>s_{goal}t</tex> до <tex>s</tex>. Свойства остаются прежними. [[Эвристики для поиска кратчайших путей|Эвристическая функция]] <tex>h(s,s')</tex> теперь должна быть неотрицательная и обратно-устойчивая, т.е. <tex>h(f,f) = 0</tex> и <tex>h(f, s) \leqslant h(f,s') + c(s',s)</tex> для всех <tex>s \in S</tex> и <tex>s' \in Pred(s)</tex>. Очевидно, что при движении робота <tex>f</tex> изменяется, поэтому данные свойства должны выполняться для всех <tex>f \in V</tex>. Дополнительное условие выхода также меняется, т.е. при <tex>g(f) = +\infty</tex> путь не найден на данной итерации. Иначе путь найден и "робот" может проследовать по нему. '''Примечание''': Так же следует отметить, что функция '''Initialize''' не обязана инициализировать абсолютно все вершины перед стартом алгоритма. Это важно, так как на практике число вершин может быть огромным, и только немногие будут пройдены роботом в процессе движения. Так же это дает возможность добавления/удаления ребер без потери устойчивости всех подграфов данного графа. === Псевдокод ===При такой постановке задачи псевдокод не сильно меняется, но функция '''Main''' все-таки претерпевает значительные изменения.  '''function''' calcKey(s): '''return''' [min(g(s), rhs(s)) + h(f,s), min(g(s), rhs(s))]  '''function''' initialize(): U = <tex>\varnothing</tex> '''for''' s <tex>\in</tex> V rhs(s) = g(s) = <tex>+\infty</tex> rhs(t) = 0 U.insert(t, calcKey(t))  '''function''' UpdateVertex(u): '''if''' u <tex>\ne</tex> t rhs(u) = <tex>\min\limits_{s' \in Succ(u)}(c(u,s')+g(s'))</tex> '''if''' u <tex>\in</tex> U U.remove(u) '''if''' g(u) <tex>\ne</tex> rhs(u) U.insert(u, calcKey(u))  '''function''' ComputeShortestPath(): '''while''' U.topKey() < calcKey(f) or rhs(f) <tex>\ne</tex> g(f) u = U.pop() '''if''' (g(u) > rhs(u)) g(u) = rhs(u) '''for''' s <tex>\in</tex> Pred(u) updateVertex(s) '''else''' g(u) = <tex>+\infty</tex> '''for''' <tex>s</tex> <tex>\in</tex> Pred(u) <tex>\cup</tex> {u} updateVertex(s)

Эвристическая функция h '''function''' main(): initialize() computeShortestPath(s,s') теперь должна быть неотрицательная и обратно-устойчивая, т.е. '''while''' <tex>hf \ne t</tex> <font color="green">// '''if''' (s_{start},s_{start}g(f) = 0<tex>+\infty</tex>) тогда путь на данной итерации не найден.</font> <tex>f</tex> и = такая вершина s', что <tex>h(s_\min\limits_{start}, s' \in Succ(f) <= h}(c(s_{start}f,s') + cg(s',s))</tex> Передвинулись вдоль найденного пути и изменили вершину <tex>f</tex> для Сканируем роботом какие-либо изменения в графе или убеждаемся, что граф остается прежним. '''if''' граф изменился '''for''' всех ориентированных ребер <tex>s \in S(u, v)</tex> и с измененными весами: Обновляем результат функции <tex>s' \in Predc(su, v)</tex>. Очевидно, что при движении робота updateVertex(u) '''for''' <tex>s_{start}s</tex> изменяется, поэтому данные свойства должны выполняться для всех <tex>s_{start} \in S</tex>U U.update(s, CalcKey(s)) computeShortestPath()

Дополнительное условие выхода также меняется, т.е. при <tex>g(s_{start}) = +\infty</tex> путь не найден на данной итерации. Иначе путь найден и робот может проследовать по нему.== Асимптотика ===

{{Теорема|author=Свен Кёниг|about=Об устойчивой насыщенности вершин|statement=Функция '''ПримечаниеComputeShortestPath''': Так же следует отметить, что функция в данной версии алгоритма ''расширяет'Initialize''' не обязана инициализировать абсолютно все вершины перед стартом алгоритма. Это важновершину максимум 2 раза, а именно 1 раз, если вершина ненасыщена, так как в на практике число вершин может быть огромным и только немногие будут пройдены робот в процессе движениямаксимум 1 раз, если она переполнена.|proof=Доказательство [http://www.cs.cmu. Так же это дает возможность добавленияedu/~maxim/files/удаления ребер без потери устойчивости всех подграфов данного графаaij04.pdf]}}

=== Псевдокод Алгоритм D* (Первая Вторая версия) ===При такой постановке задачи псевдокод не сильно меняется. Но функция '''Main''' все-таки претерпевает значительные изменения.

'''CalcKey'''(s):=== Описание === return [В первой версии алгоритма была серьезная проблема в том, что для каждой вершины в приоритетной очереди нужно было обновлять ключ суммарно за <tex>O(n \cdot \min(g(s);rhslog(s)n) + h(s_{start};s)</tex>;. Это дорогая операция, так как очередь может содержать огромное число вершин. Воспользуемся оригинальным методом поиска и изменим основной цикл, чтобы избежать постоянного перестроения очереди <tex>\min(g(s); rhs(s))U</tex>];.

Теперь эвристическая функция должна поддерживать неравенство треугольника для всех вершин <tex>s,s',s''Initialize\in V</tex>, т.е. <tex>h(s,s'') \leqslant h(s, s') + h(s',s''): U = </tex>. Так же должно выполняться свойство <tex>h(s,s') \varnothingleqslant c^*(s,s')</tex>; for , где <tex>c^*(s \in S,s')</tex> - стоимость перехода по кратчайшему пути из <tex>rhs(s) = g(s) = +\infty</tex> в <tex>rhs(s_{goal}) = 0s'</tex> U.Insert(, при этом <tex>s_{goal}s</tex>; CalcKey(и <tex>s_{goal}s'</tex>));не должны быть обязательно смежными. Такие свойства не противоречат свойствами из первой версии, а лишь усиливают их.

'''UpdateVertex'''(u): if (Допустим, что после того, как робот продвинется вдоль найденного пути на предыдущих итерациях, из вершины <tex>u \ne s_{goal}s</tex>) rhs(u) = в <tex>min_{s' \in Succ</tex>, он обнаружит изменения в графе. Первая компонента ключей <tex>k_1(us')}</tex> может уменьшится максимум на <tex>h(c(us,s')+g</tex> (по определению ключа). Вторая компонента не зависит от функции h. Аналогично первой версии алгоритма, мы должны уменьшить первую компоненту ключа у всех вершин в очереди U. Очевидно, что <tex>h(s,s'));</tex> if (будет одинаковым для всех вершин из U. Порядок в очереди не изменится, если произвести уменьшение. Следовательно уменьшение можно отложить, тем самым очередь не придется перестраивать на каждой итерации. Так же исходя из нового определения функции <tex>u \in Uh</tex>) U, её значение будет всегда меньше, чем разность первых компонент ключей у соседних по приоритету вершин.RemoveТаким образом мы можем добавлять h(us,s'); if (ко всем <tex>gk_1(u) \ne rhs(us')</tex>) у ключей вершин из U.Insert(u; CalcKey(u));

'''ComputeShortestPath'''(): while (U.TopKey() < CalcKey(Будем называть <tex>s_{start}K_m</tex>) OR <tex>rhs(s_{start}) \ne g(s_{start})</tex>) u = Uключевым модификатором.Pop(); if (g(u) > rhs(u)) g(u) = rhs(u); for В нем мы и будет хранить сумму <tex>s \in Pred(u)</tex> UpdateVertexh(s); else g(u) = <tex>+\infty</tex>; for <tex>,s \in Pred(u') \cup \{u\}</tex> UpdateVertex(s);, которые нужно добавить ко всем вершинам из U.

=== Псевдокод ===  '''Mainfunction'''calcKey(s): '''Initializereturn''' [min(g(s), rhs(s)) + h(f, s) + <tex>K_m</tex>, min(g(s), rhs(s))]  '''function'''initialize();: U = <tex>\varnothing</tex> <tex>K_m = 0</tex> '''ComputeShortestPathfor'''s <tex>\in</tex> V rhs(s) = g(s);= <tex>+\infty</tex> rhs(t) = 0 U.insert(t, CalcKey(t))  '''function''' updateVertex(u): while '''if''' u <tex>\ne</tex> t rhs(u) = <tex>s_\min\limits_{starts' \in Succ(u)} (c(u,s')+g(s'))</tex> '''if''' u <tex>\in</tex> U U.remove(u) '''if''' g(u) <tex>\ne s_</tex> rhs(u) U.insert(u, calcKey(u))  '''function''' computeShortestPath(): '''while''' U.topKey() < calcKey(f) '''or''' rhs(f) <tex>\ne</tex> g(f) <tex>K_{goalold}</tex>= U.topKey() u = U.pop() '''if''' <tex>K_{old}<// tex> < calcKey(u) U.insert(u, calcKey(u)) '''if ''' (g(u) > rhs(u)) g(u) = rhs(u) '''for''' <tex>s</tex> <tex>\in</tex> Pred(u) updateVertex(s) '''else''' g(u) = <tex>+\infty</tex> '''for''' <tex>s</tex> <tex>\in</tex> Pred(u) <tex>\cup</tex> <tex>\{u\}</tex> updateVertex(s)  '''function''' main(): <tex>s_{startlast}= f</tex> initialize() computeShortestPath() '''while''' f <tex>\ne</tex> t <font color="green">// if (g(f) = <tex>+\infty</tex>) тогда путь на данной итерации не найден.</font> <tex>s_{start}f</tex> = такая вершина s', что <tex>min_\min\limits_{s' \in Succ(s_{start}f)}(c(s_{start}f, s') + g(s'))</tex> Передвинулись вдоль найденного пути и изменили вершину <tex>s_{start}f</tex>;.

'''if (если ''' граф изменился <tex>K_m = K_m + h(s_{last}, h_{start})</tex> <tex>s_{last} = f</tex> '''for ''' всех ориентированных ребер <tex>(u; , v)</tex> с измененными весами: Обновляем результат функции <tex>c(u; , v)</tex>; '''UpdateVertex'''updateVertex(u); for computeShortestPath() === Асимптотика === С помощью введения ключевого модификатора <tex>K_m</tex> и отложенного обновления ключей вершин получилось убрать из итерации алгоритма <tex>s O(n \cdot \in log(n))</tex> операций, которые тратились на обновление очереди <tex>U</tex> U.Update(Очевидно, что на основе теорем, приведенных выше, алгоритм использовал <tex>sO(2 \cdot n \cdot \log(n))</tex>операций. Итак, нам удалось уменьшить константу в 2 раза, что дает существенный рост производительности на практических задачах. === Пример работы ==={| class="wikitable" |- | style="width:50%;text-align:center; " | [[Файл:Схема_движения_робота_Dstarv2_1.png|400px]] || style="width:50%;text-align:center;" | [[Файл:Схема_движения_робота_Dstarv2_2.png|400px]] |- | style="width:50%;text-align:center;" | Итерации в функции '''CalcKeyComputeShortestPath'''(<tex>s</tex>))на исходном графе. || style="width:50%;text-align:center; " | Итерации в функции '''ComputeShortestPath''' после изменения графа. (Второй вызов функции);|}

==СсылкиИсточники информации==

* [http://www.cs.cmu.edu/~maxim/files/aij04.pdf LPA*]* [http://pub1.willowgarage.com/~konolige/cs225b/dlite_tro05.pdfD* lite]