299
правок
Изменения
→Числа Рамсея
{{В разработке}}
==Числа Рамсея==
Основным объектов изучения будут полные графы, ребра которых покрашены в несколько цветов. В дальнейшем, для простоты, под графом будем понимать полный граф на <tex>n</tex> вершинахбудем называть кликой.{{Определение|definition=Пусть <tex>m, n \in \mathbb N</tex>. Число Рамсея <tex>r(m, n)</tex> — это наименьшее из таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске ребер полного графа на <tex>x</tex> вершинах в два цвета найдется граф клика на <tex>n</tex> вершинах с ребром цвета 1 или граф клика на <tex>m</tex> вершинах с ребром цвета 2.}}
===Существование. Оценки сверху===
{{Теорема|id=t1|author=P. Erdos, G. Szekeres
|statement=Пусть <tex>n,m \ge 2</tex>-натуральные числа. Тогда <tex>r(n,m) \le r(n,m-1)+r(n-1,m)</tex>. Если оба числа <tex>r(n,m-1)</tex> и <tex>r(n-1,m)</tex>-четные, то неравенство строгое.
|proof=
1) Рассмотрим граф клику на <tex>r(n, m - 1) + r(n - 1, m)</tex> вершинах с рёбрами цветов 1 и 2 и ее произвольную вершину <tex>a</tex>. Тогда либо от вершины <tex>a</tex> отходит хотя бы <tex>r(n, m - 1)</tex> рёбер цвета 2, либо от вершины <tex>a</tex> отходит хотя бы <tex>r(n—1, m)</tex> рёбер цвета 1. Случаи аналогичны, рассмотрим первый случай и граф клику на <tex>r(n, m — 1)</tex> вершинах, соединенных с <tex>a</tex> рёбрами цвета 2. На этих вершинах есть либо граф клика на <tex>n</tex> вершинах с ребрами цвета 1, либо граф клика на <tex>m—1</tex> вершинах с рёбрами цвета 2. Во втором случае добавим вершину <tex>a</tex> и получим граф клику на <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета 2. Теперь из определения <tex>r(n, m)</tex> следует [[#t1|неравенство]].2) Рассмотрим граф клику на <tex>r(n, m-l)+r(n-1, m)-1</tex> вершинах с рёбрами цветов 1 и 2 и его произвольную вершину <tex>a</tex>. Если вершине <tex>a</tex> инцидентны хотя бы <tex>r(n,m-1)</tex> рёбер цвета 2 или хотя бы <tex>r(n-1,m)</tex> рёбер цвета 1, то мы найдём граф в графе клику на <tex>n</tex> вершинах с рёбрами цвета 1 или граф клику на <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета 2. Остаётся лишь случай, когда вершине <tex>a</tex> инцидентны ровно <tex>r(n, m-1)-1</tex> рёбер цвета 2, то же самое для всех остальных вершин. Это означает, что в графе из рёбер цвета 2 всего <tex>r(n, m-1)+r(n-1, m)-1</tex> вершин и степень каждой вершины равна <tex>r(n, m-1)-1</tex>. Однако, тогда в графе нечётное количество вершин нечётной степени. Противоречие показывает нам, что в случае, когда <tex>r(n, m-1)</tex> и <tex>r(n-1,m)</tex> — чётные, выполняется неравенство <tex>(n, m)<r(n, m-1)+r(n-1, m)-1</tex>.
}}
