299
правок
Изменения
→Случай двудольного графа
Рассмотрим произвольную раскраску рёбер графа <tex>G</tex> в два цвета 1 и 2. Каждое множество <tex>Y\in U^{2k-1}</tex> смежно как вершина особого двудольного графа <tex>G</tex> с <tex>2k-1</tex> вершиной, хотя бы <tex>k</tex> из этих рёбер имеет одинаковый цвет. Выберем и зафиксируем для каждого множества <tex>Y</tex> его подмножество <tex>S(Y)</tex>, состоящее из <tex>k</tex> вершин доли <tex>U</tex> соединённых с <tex>Y</tex> рёбрами одинакового цвета. Пусть <tex>c(Y)\in \{1,2\}</tex> — это цвет рёбер соединяющий <tex>Y</tex> с вершинами из <tex>S(Y)</tex>.
Можно считать, что элементы <tex>U </tex> упорядочены . Тогда элементы каждого множестЕа каждого множества <tex>Y е и2к~г \in U^{2k-1}</tex> будут упорядочены. Обозначим через <тtex>\sigma(УY) мисжество </tex> множество номеров к элементсЕ <tex>k</tex> элементов множества <tex>S(Y) </tex> в порядке элементов мисжества множества <tex>Y </tex>. Тогда ег<tex>\sigma(УY) </tex> может привимать рсЕвс Спринимать ровно <tex>C^_х k_{2k-1}</tex> значений. Покрасим множсстес tмножество <tex>U^{2k-1}</2fe_1 tex> (тс то есть все <tex>(2к — 2k-1)</tex>-элементные подмножества [подмножества <tex>U</tex>) в2Скк_1 пестовв <tex>2C^k_{2k-1}</tex>цветов: цветем цветом подмножества У <tex>Y</tex> будет нара пара <tex>(ег\sigma(УY),сc(УY)) </tex>. Из выбора размера мвсжества множества <tex>U </tex> (см. условие (1С.6)) следует, что существует ceotcndetn такое ЕСдмножестЕС подмножество <tex>W с \subset U. </tex>, что <tex>|1УW| = кп kn+ к — k-1 </tex> и Есе псдвсе подмножества <tex>Y\subset W^{2k-мвсжества У с \У2к~г 1}</tex> имеют одинаковый цвет <tex>(сг\sigma(УY),сc(УY)) </tex> (не умаляя сбшнссти общности будем считать, что ег<tex>\sigma(УY) = а. с\sigma, c(УY) = 1()</tex>. Мы найдём погружение погружение графа Н е <tex>H</tex> в <tex>G(W). </tex>, все рёбра е в котором покрашены в исходной раскраске в цвет 1 и тем самым докажем лемму.
Занумеруем элементы множестЕа W ь порядке их следования в U пусть W = {гщ,..., Wkn+k-i}- ВЕедем обозначения
tj = wkj, T = {tu...,tn}, V — {аь ..., ап}.
