Изменения

'''Двойственный матроид к <tex> M = \; \langle X, B \rangle</tex>''' - это [[Определение_матроида | матроид ]] <tex>M^* = \; \langle X, \mathcal B^* \rangle</tex>, где <tex> \mathcal B^* = \; (\{\overline {\beta} B |\; \beta B \in \mathcal B\})</tex> - множество всех кобаз матроида <tex>M.</tex>

|statement= Множество <tex>B^*</tex> удовлетворяет [[Аксиоматизация_матроида_базами | аксиомам баз]].

* 1. Пусть <tex>B_1, B_2 \in \mathcal B.</tex> <tex>B_1 \subseteq B_2 \Leftrightarrow \overline {B_1} \supseteq \overline {B_2}.</tex> Тогда по первой аксиоме для <tex>B_{1,2} </tex> <tex>: \overline {B_2} = \overline {B_1}.</tex>* 2. Пусть <tex> \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*</tex> и <tex> p\in \overline{B_1}.</tex> Так как <tex> p\notin {B_1},</tex> то в <tex> B_1 \cup p </tex> имеется точно один цикл <tex>C</tex>. Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, т.к. разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> - база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется вторая аксиома баз.