Изменения

Танго '''Tango-дерево''' {{---}} online бинарное дерево поиска, которое изобрели Эрик Д. Демейн, Дион Хармон, Джон Яконо и Михаи Патраску в 2004 году. Это лучшая известная реализация на данный момент. Время работы tango-дерева <tex>O(OPT_{dyn} \cdot \log \log n)</tex>==Динамическая оптимальность==ПоискРассмотрим для начала понятия online/offline динамически/статически оптимального дерева поиска.Перестройка  В '''статическом''' бинарном дереве поиска не происходит поворотов вокруг ребер. Его оптимальность зависит только от начального положения дерева. Это отличает его от '''динамического''' дерева, в котором повороты вокруг ребер разрешены.

==Динамическая оптимальность=='''Offline дерево''' поиска получает все запросы сразу и может использовать дополнительную память и вычисления для нахождения наиболее оптимальной последовательности обработки запросов. Стоимость работы дерева поиска для заданной последовательности ключей это стоимость доступа к каждому ключу и модификации дерева, и она не зависит от того, сколько времени мы потратили, чтобы найти оптимальную последовательность. '''Online дерево''' поиска получает следующий запрос, только когда ответит на текущий, соответственно время работы пропорциональное стоимости исполнения запросов. Таким является splay-дерево.  {{Определение |definition=Динамическая оптимальность Пусть <tex>OPT(S)</tex> {{---}} оптимальное время работы бинарного дерева поиска для последовательности запросов <tex>S</tex>. Если стоимость запросов в бинарном дереве поиска {{---}} <tex>O(n + OPT(Dynamic OptS))</tex> для всей ключей от <tex> 1 </tex> до <tex> n </tex>, то дерево называется '''динамически оптимальным'''.

 Если мы разрешаем перестраивать деревья в процессе запросаЭто свойство трудно показать. Неизвестно, есть ли какое-то splay-деревья не большединамически оптимальное online бинарное дерево поиска, и также неизвестно полиномиальное время для вычисления <tex>OPT(S)</tex> с точностью до константы.Обозначим время работы динамически оптимального дерева <tex>O(OPT_{dyn})</tex>, чем в константу хуже оптимальныхгде <tex>OPT_{dyn} = n + OPT(S)</tex>.

|statement=[[Splay-дерево | Splay-деревья ]] обладают динамической оптимальностью.То есть если мы разрешаем перестраивать деревья в процессе запроса, то splay-деревья не больше, чем в константу хуже оптимальных.Гипотетическое время работы splay-дерева <tex>O(OPT OPT_{dyn})</tex>

===Модель динамически оптимального дерева===

Рассмотрим ключи <tex>1..n</tex> и запросы <tex>x_{1}..x_{n}</tex>, где <tex>x_{i} \in \{1..n\}</tex> – {{---}} ключ, к которому мы обращаемся.

|statement=Существует некоторое гипотетическое гипотетически оптимальное дерево, которое на каждый запрос делает следующие вещи:# идет Идет от корня до <tex>x_{i}</tex># делает какиеДелает какое-то количество поворотов

====Визуализация работы с гипотетически оптимальным динамическим двоичным деревом поиска====

Рассмотрим оси ключи от временисистему координат ключ {{---}} время.Поставим точки, которые соответствуют обращению по данному ключу в определенное время.

|definition=Множество точек называется '''древесным''' (англ. ''aboral''), если выполняется следующее свойство:возьмем произвольный невырожденный прямоугольникна сторонах любого невырожденного (площадь прямоугольника больше нуля) с углами в наших прямоугольника, построенного на двух точках, как на противоположных вершинах (левая нижняя-правая верхняя или левая верхняя-правая нижняя), есть еще хотя бы одна точка.

[[Файл:DariaPicture1.png|400pxthumb|thumbleft|right400px|1) Запрос вершины 3 : вершина 3;  2) Запрос 2 : вершина 3 – вершина 1 – вершина 2;  

{{УтверждениеОпределение|statementdefinition=Множество точек удовлетворяет свойству древесности, если на любом прямоугольнике '''Фазовая диаграмма (диаграмма состояния) работы с вершинами в наших точках есть еще хотя бы одна точкадеревом''' {{---}} графическое отображение состояния дерева, отличная от точекпри котором координата точки <tex>(x_{i}, на которых его построилиi)</tex> означает обращение к элементу <tex>x_{i}</tex> в момент времени <tex>i</tex>.

#'''1. Фазовая диаграмма работы с деревом поиска обладает свойством древестности.''' 

На момент <tex>i</tex>-го запроса рассмотрим в дереве поиска наименьшего общего предка <tex>x</tex> и <tex>y</tex> {{-- -}} вершину <tex>t</tex>.Если <tex>t \ne x</tex>, то все хорошо, значит в дереве поиска она находится между <tex>x</tex> и <tex>y</tex>, поэтому мы к нему обращались в то время, когда шли к <tex>x</tex>, значит есть точка на стороне нашего многоугольника.

Если <tex>t != x</tex>, то все хорошо, значит в дереве поиска она находится между <tex>x</tex> и <tex>y</tex>, поэтому мы к нему обращались в то время, когда шли к <tex>x</tex>, значит есть точка на стороне нашего многоугольника. [[Файл:DariaPicture2.png|400px|thumb|right300px|t {{--- }} наименьший общий предок х и у

 Если <tex>t = x</tex>, то есть <tex>x</tex> {{-- -}} предок <tex>y</tex> в момент <tex>i</tex>-го запроса,

 Если <tex>t != \ne y</tex>, тогда мы к нему обращались, и есть точка на стороне нашего прямоугольника.Если <tex>t = y</tex>, то есть <tex>y</tex> {{--- }} предок <tex>x</tex> в момент <tex>j</tex>-го запроса,

# То есть во время <tex>i</tex>-го запроса <tex>y</tex> был в поддереве <tex>x</tex>, а во время <tex>j</tex>-го запроса <tex>x</tex> в поддереве <tex>y</tex>, значит где-то между этими моментами выполнялся поворот вокруг ребра от <tex>y</tex> к родителю, и мы обращались к <tex>y</tex>, следовательно есть точка на правой стороне нашего прямоугольника. '''2. Если множество точек обладает свойством древесности, то оно является фазовой диаграммой работы с некоторым деревом поиска.'''

Построим из них [[Декартово дерево | декартово(!) дерево]], где ключом будет ключ, а вспомогательным ключом – {{---}} время, когда мы следующий раз обратимся к вершине, то есть для каждого <tex>x</tex> найдем минимальный <tex>y</tex> такой, что существует точка <tex>(x, y)</tex>. Приоритет <tex>y</tex> будет меняться по мере того, как мы будет симулировать работу с деревом поиска.

[[Файл:DariaPicture3.png|400px|thumb|right300px|построение Построение декартова дерева

Утверждается, что выполняя повороты только внутри верхней части нашего дерево можно построить дерево в соответствии с новыми приоритетами.

Но тогда рассмотрим прямоугольник(мы обращались к <tex>x</tex>). А когда-то мы обратимся к <tex>y</tex>.

На левой стороне точек нет.

 Когда таких точек (как <tex>z</tex>) не останется, то мы получим прямоугольник, у которого нет точек на всех сторонах, а это противоречит исходному условию.Поэтому при перестроении декартова дерева нам не потребуется переходить из нашей верхней зоны. 

 Таким образом, мы получили какую-то ''offline '' оптимальность.

<tex>OPT (x) = omega\Omega(f) </tex> Если что-то работает за <tex>O(f * \cdot g)</tex>, значит это работает не более, чем в <tex>g</tex> раз хуже.

Можно показать, что <tex>OPT(x) \geqslant M + MP / 2</tex>OPT , где <tex>M</tex>= \sum\limits_{i \in [1{---}} число запросов, n]} 1 + ch(i)<tex>MP</tex>{{---}} максимальное число независимых прямоугольников.

{{Теорема !!следствие |statement=Рассмотрим То есть <tex>n<OPT(x) = \Omega(M + MP /tex> ключей и <tex>m</tex> запросов запросы <tex>x_{1} .. x_{m}2)</tex>Организуем их в полное двоичное сбалансированное дерево.

Будем в этом дереве искать наши ключи в том порядке, в котором их искали !!!тамДля каждой вершины будем запоминать ребро, по которому мы последний раз проходили при поиске ключей в дереве==Вторая нижняя оценка Уилбера (назовем его жирное реброWilber).==

УтверждаетсяДля каждого запроса <tex>x_{j}</tex> вычислим число Уилбера. Рассмотрим запросы <tex>x_{i}, i = 0..j</tex> Пусть <tex>a < x_{j} < b</tex>, где <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} левая и правая границы на момент <tex>i</tex>.На момент времени <tex> i = 0 : a = -\infty, b = +\infty</tex>.Будем передвигать левую границу каждый раз, когда встречаем число <tex>x_{i} : \{x_{j} < x_{i} < a\} </tex>. Аналогично правую.В каждый момент времени позиция <tex>a</tex> может увеличиваться, <tex>b</tex> уменьшаться.Рано или поздно, наши границы <tex>a</tex> и <tex>b</tex> встретятся в <tex>x_{i} = x_{j}</tex> Напишем <tex>r</tex>, что если изменяется правая граница <tex>b</tex> и <tex>l</tex> {{---}} если левая. {{Определение|definition='''Числом Уилбера''' <tex>ch(j)</tex> называется количество смен <tex>r</tex> на <tex>l</tex> и обратно.}} Получаем следующую оценку <tex>OPT \geqslant \sum\limits_{i j \in [1, n]} 1 + ch(ij)</tex> Это можно вывести из предыдущей оценки, построив соответствующее <tex>ch(j)</tex>множество попарно независимых прямоугольников. [[Файл:DariaPicture12.png|300px]] {{Определение |definition= '''Жирное ребро''' (англ. ''Prefered edge'') {{---}} ребро, соединяющее вершину с ее последним посещенным ребенком.}} {{Теорема|statement=Рассмотрим <tex>n</tex> ключей и <tex>m</tex> запросов <tex>x_{1} .. x_{m}</tex> Организуем их в полное двоичное [[Дерево поиска, наивная реализация | сбалансированное дерево]].Если <tex>n</tex> {{---}} не степень двойки, то на последний уровень будет заполнен не до конца. Будем в этом дереве искать наши ключи в том порядке, в котором их искали в оптимальное дереве. Для каждой вершины будем запоминать жирное ребро. Утверждается, что <tex>\sum\limits_{i \in [1, n]}ch(i) \geqslant \sum\limits_{i \in [1, n]} K</tex>, где <tex>K</tex> изменения числа {{---}} число изменений жирных ребер. То есть если мы улучшили правую границу(мы искали что-то справа), а потом улучшили левую(искали слеваот нас), значит где-то по пути мы прошли туда-обратно и сменили жирное ребро.

===ПримерПостроение===

[[Файл:DariaPicture4Рассмотрим бинарное дерево поиска.png|300px|]][[Файл:DariaPicture5.png|300px|]][[Файл:DariaPicture6.png|300px|]]===Построение===Пусть изначально Изначально сделаем все левые ребра были жирными.Разобьем наше дерево на жирные пути. {{Определение Операций первого становления ребра жирным <tex>O|definition='''Жирный путь''' (nангл. ''Prefered path'')</tex> – дают несущественный вклад в асимптотику{{---}} максимальный по включению путь, состоящий из жирных ребер. }}

Каждый из этих жирных путей организуем в свое splay-дерево.Splay-дерево может быть построено как угодно. Из каждой вершины будет выходить вспомогательная ссылка каждого splay-дерева создадим вспомогательную ссылку на корень другого splay-дерева, соответствующего жирному пути в котором лежит тот ее ребенок, связанный с ней нежирным ребром в которой ведет из нее нежирное реброисходном бинарном дереве поиска (при этом ссылка ставится на само дерево, а не на ребенка). Корнем tango-дерева будет являться splay-дерево, которое есть жирный путь от корня исходного бинарного дерева поиска.  

[[Файл:DariaPicture8.png|400px|thumb|right600px|

Таким образом, все наши ключи организуют иерархичную структуру{{---}} Tango-дерево. Каждый жирный путь {{--- }} splay-дерево, и каждое их них каждая вершина дерева указывает на корень другого splay-дерева, в котором лежит ее второй сын(при этом указатель ставится на само дерево, а не на сына)вершины по нежирному ребру.

Время Глубина tango-дерева <tex>\log n</tex>. Общее время работы дерева <tex>(M + K) \cdot \log \log n</tex>, где <tex>K</tex> {{---}} число изменений жирных ребер) *, <tex>M</tex> {{---}} число запросов. Операций первого становления ребра жирным {{---}} <tex> log O(\log n)</tex>, это дает несущественный вклад в асимптотику.

Поиск элемента в tango-дереве схож с поиском в обычном дереве поиска. Начинаем с поиска в жирном пути корня tango-дерева {{---}} splay-дереве.  Если текущий жирный путь не содержит искомый элемент, то сделаем переход по вспомогательной ссылке (красная стрелка в tango-дереве) и осуществим поиск в новом жирном пути (splay-дереве). Поиск в splay-дереве (синее дерево в splay-дереве) работает за высоту от количества вершин (количество вершин {{---}} длина жирного пути (<tex>\log n</tex>)) {{---}} то есть за <tex>\log \log n</tex>. Поиск во всем дереве = соответствует <tex>(\log \log n)\cdot </tex> * число проходов по нежирному ребру. ====Пример===='''Изменение жирных ребер в бинарном дереве поиска''' [[Файл:DariaPicture4.png|400px|]][[Файл:DariaPicture5.png|400px|]][[Файл:DariaPicture6.png|400px|]] '''Соответствие tango-дерева текущему бинарному дереву поиска''' [[Файл:DariaPicture14.png|400px|]][[Файл:DariaPicture13.png|400px|]][[Файл:DariaPicture8.png|400px|]]

Перестраивать Для того, чтобы сохранить структуру tango-дерева (splay-дерево таксоответствует текущему жирному пути), мы должны обновлять его каждый раз, чтобы оно соответствовало новым когда жирные ребра изменяются в результате поиска. После изменения жирного ребра верхняя часть жирного пути отделяется от нижней части (которая становится самостоятельным жирным ребрампутем) и присоединяется к другому жирному пути (который становится нижней частью).  Во-первых, мы должны запомнить для каждой вершины нашего изначального дерева поиска дополнительную информацию: <tex>minChild</tex> {{---}} минимальное значение в поддереве текущей вершины, <tex>maxChild</Теперь мы изменяем жирное реброtex> {{---}} максимальное значение в поддереве. Во-вторых, т е хотим отрезать 13 нам понадобятся операции [[Splay-дерево | split]] и подвесить 10 9[[Splay-дерево | merge]], которые работают за <tex>O(\log k)</tex>, где <tex>k</tex> {{---}} число узлов в <tex>splay</tex>- дереве. Пусть для того, чтобы найти вершину <tex>x</tex>, которая находится в дереве <tex>F</tex>, мы прошли по тонкому ребру из вершины <tex>t</Отрезать 13 легкоtex>, находящейся в дереве <tex>A</tex>.Значит, нам нужно объединить деревья <tex>A</tex> и <tex>F</tex> и вырезать из дерева <tex>A</tex> подддерево <tex>D</tex>, в которое ведет жирное ребро из вершины <tex>t</tex>. Пусть поддерево <tex>D</tex> {{- split по ключу--}} правое. Для левого аналогично. # Так как мы знаем интервал значений <tex>[l', теперь х r']</tex> вершины <tex>t</tex> в корнеее правом поддереве <tex>D</tex>, и отрезаем правое сделаем по концам отрезка две операции <tex>split</tex>. Теперь мы можем отрезать поддерево <tex>D</tex>.# Все ключи дерева <tex>F</tex> меньше <tex>t</tex> (так как бинарное деревопоиска), поэтому выполним операцию <tex>split</tex> по максимальному значению <tex>m</tex>, меньшему <tex>t</tex>.# Выполним операцию merge деревьев <tex>F</tex> и <tex>H</ Как обратно вставить 9 10tex>.Merge в splay-дереве# Выполним операцию merge деревьев <tex>FH</tex> и <tex>G</tex>.# Выполним операцию merge деревьев <tex>FGH</tex> и <tex>T1E<T2/tex>.# Проведем тонкое ребро от вершины <tex>t</tex> сливаем в к дереву <tex>D</tex>T. Таким образом, T1перестройка = <tex>(3 \cdot split + 3 \cdot merge) \cdot K = (O(1) + 3 \cdot O(\log \log n) + 3 \cdot O(\log \log n)) \cdot K</tex> – split от самой большой = <tex>O(самой правой\log \log n \cdot OPT_{dyn}) вершины</tex>, она становится конемгде <tex>K</tex> {{---}} число изменений жирного ребра, и в правое поддерево приклеиваем <tex>Т2n</tex>{{---}} число вершин в tango-дереве.  ====Пример====[[Файл:DariaPicture9.png|1200px|]]

Разрезаем жирные ребра==Источники информации==*[http://www.lektorium.tv/lecture/14247 А.С.Станкевич, по которым мы не прошлиДополнительные главы алгоритмов, Tango-деревья]*[http://erikdemaine.org/theses/dharmon.pdf Dion Harmon, New Bounds on Optimal Binary Search Trees]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Tango_tree Wikipedia {{---}} Tango tree]Берем ребро*[http://ocw. Берем деревоmak. Берем вершинуac. Splitug/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-851-advanced-data-structures-spring-2010/lecture-notes/MIT6_851S10_lec02. Она кореньpdf Prof. Erik Demaine, Advanced Data Structures]Смотрим интервал в базовом дереве – какой диапазон ключей соответствует нашему сыну*[https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/fall08/cos521/tango.pdf Sanjeev Arora,Competitive analysis of data structures]вырезаем этот диапазон с помощью двух сплитов по rmin и по rmax*[http://john2.В новое независимое дерево ставим красный указатель на вершинуpoly.edu/papers/sicomp05/paper.pdf Erik D.Старый красный указатель вел в деревоDemaine, Dion Harmon, John Iacono, которое надо слить с его предком.Разрезаем с другой стороны от нашей вершины и вставляем как сына по нежирному ребру к той вершинеMihai Patrascu, от которой пошли.Dynamic Optimality—Almost]