57
правок
Изменения
Нет описания правки
Для получения отсортированного массива сначала построим массив стопок, затем выполним <tex>n</tex> шагов (здесь и далее нумерация шагов начинается с единицы): на <tex>i</tex>-м шаге выберем из всех вершин стопок наименьшую, извлечём её и запишем в массив <tex>ans [0..n-1]</tex> на <tex>(i-1)</tex>-ю позицию.
Мы формируем новую стопку, когда встречаем элемент больший, чем вершины всех стопок, расположенных слева. В то же время стопки слева были созданы ранее, то есть элементы в них идут в исходной последовательности раньше текущего. Каждая стопка представляет собой убывающую последовательность, т.е. то есть длина НВП в пределах стопки равна единице, поэтому появление новой стопки можно понимать как увеличение длины наибольшей возрастающей подпоследовательности на единицу (изначально длина НВП равна единице). Поэтому длина наибольшей возрастающей подпоследовательности равна количеству стопок.
Для получения наибольшей возрастающей подпоследовательности при формировании стопок проведём следующие операции: каждый раз, положив элемент на вершину стопки, будем создавать указатель на возможный предыдущий элемент (вершину ближайшей слева стопки). В конце для получения наибольшей возрастающей подпоследовательности нужно выполнить <tex>p</tex> шагов, начав с вершины самой правой стопки: на <tex>i</tex>-м шаге записать в <tex>lis[0..p-1]</tex> на <tex>(p-i)</tex>-ю позицию текущий элемент, перейти к предыдущему элементу по указателю, <tex>p</tex> {{---}} количество стопок.
== Сложность ==
Создадим массив [[список|список]] [[стек|стеков]] для хранения стопок. При раскладывании элементов по стопкам для поиска самой левой подходящей стопки используем [[Целочисленный двоичный поиск|бинарный поиск]]. Соответственно, поиск самой левой стопки занимает <tex>O(\log</tex> <tex>p)</tex>, где p {{---}} количество стопок (стеков). Таким образом, временная сложность раскладывания по стопкам не превышает <tex>O(n \log n)</tex>. Если диапазон, в котором могут изменяться данные, известен, временная сложность алгоритма формирования стопок составляет <tex>O(n \log \log n)</tex>. Такая оценка основывается на структуре данных [[Дерево ван Эмде Боаса|Дерево ван Эмде Боаса]].
Для получения отстортированного массива используем [[Двоичная куча|бинарную кучу]]. На каждом шаге алгоритма необходимо извлечь из кучи стек с минимальной вершиной за <tex>O(\log</tex> <tex>p)</tex>, где <tex>p </tex> {{- --}} количество стеков в куче. Снять вершину выбранного стека и вернуть его в кучу за <tex>O(\log</tex> <tex>p)</tex>. Получение отсортированного массива займёт <tex>O(n \log</tex> <tex>n)</tex> времени.
Получение наибольшей возрастающей подпоследовательности выполняется за <tex>O(n)</tex> по описанному выше алгоритму.
Таким образом, алгоритм сортировки требует <tex>O(n \log n)</tex> времени в худшем случае и <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти при любом раскладе.
== Псевдокод ==
<font color = green>//формирование стопок</font> List<Stack<E>> createPiles(E[] source)
List<Stack<E>> piles
'''for''' i = 0..n - 1
'''else'''
piles[j].add(Pile(source[i]))
piles[j].top().previous() = piles[j - 1].top(): <font color=green> // для последующего получения НВП </font> '''return ''' piles
<font color = green>//Получение отсортированного массива</font> bool comparator = comparePiles (Stack<E> x, Stack<E> y)
return x.peek() < y.peek()
'''for''' i = 0..n - 1
answer[i] = q.min().pop()
'''return ''' answer
<font color = green>//Получение наибольшей возрастающей подпоследовательности</font> E [] getLIS(List<Stack<E>> piles)
lis[n - 1] = piles[piles.size - 1].top()
E prev = lis[n - 1].previous()
'''for''' i = n - 2..0
lis[i]=prev
prev = lis[i].previous()
'''return ''' lis
== Пример ==
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: СортировкиСортировка]]
