3622
правки
Изменения
Нет описания правки
Дано дерево <tex> G </tex> и набор запросов: пары вершин <tex>\langle v, u \rangle </tex>, и для каждой пары нужно найти наименьшего общего предка. Считаем, что все запросы известны заранее, поэтому будем решать задачу оффлайн.
Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из <tex>n</tex> вершин и <tex>m</tex> запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, то есть при достаточно большом <tex>m</tex> за <tex>O (1)</tex> на запрос.
== Алгоритм ==
Зафиксируем момент: мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>\langle v</tex>, <tex>u \rangle</tex>.
Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>u</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины , которые находятся "слева" от этого предка.
На рисунке разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины {{---}} ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>.
Обновление массива <tex> ancestor </tex> будем производить следующим образом:
* когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex> , мы должны добавить её в новый класс {{---}} <tex>ancestor[v] = v</tex>
* когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка <tex> u </tex> у вершины <tex> v </tex>, мы должны объединить поддерево ребёнка с классом вершины <tex> v </tex> (<tex>\mathrm{union}(v, u, v)</tex> {{---}} объединить классы вершин <tex> v </tex> и <tex> u </tex>, а наименьшим общим предком представителя нового класса сделать вершину <tex> v </tex>). Система непересекающихся множеств сама определит представителя в зависимости от используемой нами эвристики. Нам надо лишь правильно установить значение массива <tex> ancestor </tex> у нового представителя.
Пусть теперь наименьшим общим предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> будет вершина, отличная от этих двух. Во время обработки запроса алгоритм точно вернёт общего предка этих двух вершин, так как он будет предком одной из вершин по массиву <tex> ancestor </tex>, а предком другой из-за обхода в глубину.
Покажем, что найдём наименьшего предка. Пусть это не так. Тогда существует какая-то вершина <tex> w </tex>, которая тоже является предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> , и из которой мы вышли раньше во время обхода в глубину. Но тогда ситуация, что одна из вершин посещена, а у другой рассмотрены все дети, должна была выполниться раньше, и в качестве ответа должна была вернуться вершина <tex> w </tex>.
Заметим, что для корректности алгоритма достаточно было бы одного массива <tex> dsu </tex>, а представителем класса всегда выбирать наименьшего общего предка вершин класса. Это несложно сделать, так как мы всегда объединяем ребёнка со своим родителем. Но в таком случае алгорим получился бы менее эффективным, потому что одна только эвристика сжатия путей работает недостаточно быстро.
Она состоит из нескольких оценок.
*Обход в глубину выполняет выполняется за <tex>O(n)</tex>.*Операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> затрачивают работают <tex>O (n)</tex> операцийвремени. Каждый запрос <tex>\langle v, u \rangle </tex> будет рассмотрен дважды {{---}} при посещении вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за <tex>O (m)</tex>.
*Для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>O (1)</tex>.
== Источники информации ==
