105
правок
Изменения
м
<br />[[Файл:undir_grap.png]] '''Следствие 1.''' В любом графе число вершин нечётной степени чётно.
''Следствие 2''Число ребер в полном графе <tex>\frac{n(n-1)}{2} <br /tex>
ё
== Лемма о рукопожатиях Неориентированный граф ====== Лемма о рукопожатиях для неориентированного графа ====
{{Лемма
|statement=
Сумма степеней всех вершин графа (или мультиграфа без петель) — четное чётное число, равное удвоенному числу реберрёбер:<br /> <tex> \sum\limits_{v\in V(G)} deg\ v=2 \cdot|E(G)|</tex>
|proof=
Возьмем пустой граф. Сумма степеней вершин такого графа равна нулю. При добавлении ребра, связывающего любые две вершины, сумма всех степеней увеличивается на 2 единицы. Таким образом, сумма всех степеней вершин четна чётна и равна удвоенному числу реберрёбер.
}}
Например, для следующего графа выполнено: <tex>deg(1)+\ldots+deg(6)=16=2\cdot|E|</tex>
'''Следствие 12.'''В любом Число рёбер в полном графе число вершин нечетной степени четно<tex dpi=150>\frac{n\cdot(n-1)}{2} </tex>.
==== Лемма о рукопожатиях для ориентированного графа ==Ориентированный граф ==
{{Лемма
|statement=
Сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа (или мультиграфа без петель) — четное чётное число, равное удвоенному числу реберрёбер:<br /> <tex> $\sum\limits_{v\in V(G)} deg^{-}\v \; + \sum\limits_{v\in V(G)} deg^{+}\ v = 2 \cdot |E(G)| $</tex>
|proof=
[[Файл:dir_grap.png|thumb|300px| <tex>deg^{-}+deg^{+}=10=2\cdot |E|</tex>]]Аналогично доказательству леммы о рукопожатиях неориентированном графе. То есть возьмем пустой граф и будем добавлять в него рёбра. При этом каждое добавление ребра увеличивает на единицу сумму входящих и на единицу сумму исходящих степеней. Таким образом, сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа чётна и равна удвоенному числу рёбер.}} == Бесконечный граф ==[[Файл:inf_grap.png|thumb|300px|right|Пример бесконечного графа, в котором не выполняется лемма]] В бесконечном графе лемма не работает, даже в случае с конечным числом вершин нечётной степени. Покажем это на примере. При выборе бесконечного пути из вершины <tex> V </tex> (см. рисунок справа) имеем путь, в котором все вершины кроме стартовой имеют чётную степень, что противоречит следствию из леммы. == Регулярный граф =={{Определение|definition=Граф называется '''регулярным''', если степени всех его вершин равны.
}}
{{Утверждение
|statement=
В регулярном графе с <tex> n </tex> вершинами ровно <tex dpi=150>\frac{k\cdot n}{2} </tex> рёбер.
}}
{{Утверждение
|statement=Если степень каждой вершины нечётна и равна <tex> k</tex>, то количество рёбер кратно <tex> k </tex>.
|proof= [[Файл:reg_grap.png|thumb|300px|right|Регулярный граф с <tex dpi=140>\frac{k\cdot n}{2} = \frac{3\cdot 6}{2}=9 </tex> рёбрами ]]
Действительно, так как степень каждой вершины нечётна, то число вершин в графе чётно(так сумма степеней всех вершин чётна). Пусть <tex> n = 2\cdot r </tex>, то равенство принимает вид <tex dpi=150>|E| =\frac{k\cdot n}{2} = \frac{2\cdot k\cdot r}{2}=k\cdot r </tex>, то есть количество рёбер кратно <tex> k</tex>.
}}
== Источники информации ==
* Lecture Notes on Graph Theory By Tero Harju, Department of Mathematics University of Turku, 2011 — с. 7-8
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Handshaking_lemma Handshaking lemma — Wikipedia]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]
