Изменения

Рассмотрим каркас T графа G.<mathtex>e_1,...,e_{s}</mathtex> — все ребра графа G которые не входят в каркас T. При добавлении <math>e_{i}</math> образуется простой цикл <mathtex>C_{i}</mathtex>. Семейство циклов <mathtex>C_1 ... C_{s}</mathtex> называется '''фундаментальными циклами графа G относительно каркаса T'''

Рассмотрим каркас T графа G и фундаментальные циклы <mathtex> C_1 ... C_{s} </mathtex> относительно каркаса T. В каждом из <mathtex> С_{i} </mathtex> есть ребро <mathtex>e_{i}</mathtex> которое принадлежит ровно одному из <mathtex> C_1 ... C_{s} </mathtex>. Поэтому раздичных фундаментальных циклов относительно каркаса Т не является пустым графом, из чего следует, что <mathtex> C_1 ... C_{s} </mathtex> линейно независимы.Докажем, что любой цикл из циклического пространства графа G является суммой фундаментальных циклов. Пусть Z — цикл циклического пространства графа G, <mathtex> e_1 ... e_{k} </mathtex> ребра принадлежащие Z и не принадлежащие T. Рассмотрим граф <mathtex> F = Z \oplus C_1 \oplus ... \oplus C_{k} </mathtex>. Каждое из ребер <mathtex> e_{t} , t = 1,..,k </mathtex> встречается ровно в двух слагаемых — Z и <mathtex>C_{k}</mathtex>. Значит F содержит только ребра из T. Так как <mathtex> С_1 ... С_{k} </mathtex> простые циклы, то степени всех их вершин четны, степени вершин Z тоже четны по [[Циклическое пространство графа|лемме]], значит степени всех вершин F четны. Если F непустой граф то в F есть цикл, значит цикл есть и в T. Значит F пустой граф, откуда следует что <mathtex>Z = C_1 \oplus ... \oplus C_{k} </mathtex>.