3622
правки
Изменения
→Алгоритм
Классы этих вершин не пересекаются, а значит, мы можем их эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем хранить в массиве <tex>dsu</tex>.
Будем поддерживать также массив <tex>ancestorlcaClass[1 \dots n]</tex>, где <tex> ancestorlcaClass[w] </tex> {{---}} наименьший общий предок всех вершин, которые лежат в том же классе, что и <tex> w </tex>. Обновление массива <tex> ancestor lcaClass </tex> для каждого элемента будет неэффективно. Поэтому зафиксируем в каждом классе какого-то представителя. Функция <tex> \mathrm{find}(w) </tex> вернёт представителя класса, в котором находится вершина <tex> w </tex>. Тогда наименьшим общим предком всех вершин из класса <tex> w </tex> будет вершина <tex> ancestorlcaClass[\mathrm{find}(w)] </tex>.
Обновление массива <tex> ancestor lcaClass </tex> будем производить следующим образом:* когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex>, мы должны добавить её в новый класс {{---}} <tex>ancestorlcaClass[v] = v</tex>* когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка <tex> u </tex> у вершины <tex> v </tex>, мы должны объединить поддерево ребёнка с классом вершины <tex> v </tex> (<tex>\mathrm{union}(v, u, v)</tex> {{---}} объединить классы вершин <tex> v </tex> и <tex> u </tex>, а наименьшим общим предком представителя нового класса сделать вершину <tex> v </tex>). Система непересекающихся множеств сама определит представителя в зависимости от используемой нами эвристики. Нам надо лишь правильно установить значение массива <tex> ancestor lcaClass </tex> у нового представителя.
После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида <tex>\langle v, u \rangle </tex>, где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.
Нетрудно заметить, что <tex>lca(v, u) = ancestorlcaClass[\mathrm{find}(u)]</tex>. Для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
=== Реализация ===
'''function''' union(x : '''int''', y : '''int''', newAncestor : '''int'''):
leader = dsuUnion(x, y) <font color=green> // объединяем классы вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex> и получаем нового представителя класса </font>
<font color=green>// можно запустить от любой вершины дерева в самый первый раз</font>
'''function''' dfs(v : '''int'''):
visited[v] = ''true''
'''foreach''' u : (v, u) '''in''' G
'''if''' '''not''' visited[u]
'''foreach''' u : <tex>\langle v, u \rangle </tex> {{---}} есть такой запрос
'''if''' visited[u]
запомнить, что ответ для запроса <tex>\langle v, u \rangle </tex> = ancestorlcaClass[find[u]]
== Корректность ==
