Изменения
Нет описания правки
# База индукции: <br> Покажем, что в любом сильно связанном турнире T с n вершинами (n >= 3) есть орцикл длины 3. Выберем произвольную вершину <tex>v_0</tex> и обозначим через <tex>W</tex> множество всех вершин <tex>w</tex>, таких, что ребро <tex> ( v_0, w ) \in T </tex>, а через <tex>Z</tex> – множество всех вершин <tex>z</tex>, таких, что ребро <tex> ( z, v_0 ) \in T </tex>. Так как T сильно связан, то оба множества <tex>W</tex> и <tex>Z</tex> не пусты и найдется ребро <tex> ( w', z' ) \in T </tex> , где <tex>w' \in W , z' \in Z</tex>. Тогда искомым циклом длины 3 будет <tex>v_0</tex>,<tex>w'</tex>,<tex>z'</tex>,<tex>v_0</tex>.
# Индукционный переход <br> Покажем, что если турнир T с n вершинами имеет орцикл S = <tex>v_1v_2...v_kv_1</tex> длины k < n, то он имеет также орцикл длины k + 1. Рассмотрим 2 случая:
## Существует такая вершина <tex>v_0 \notin S </tex> и такая, что найдутся вершины <tex>u , w \in S</tex> , такие, что ребра <tex> ( v_0 , u ) , ( w , v_0) \in T </tex>. Обозначим за <tex>v_1</tex> вершину из S, такую, что ребро <tex> ( v_1, v_0 ) \in T </tex>. Пусть <tex>v_i</tex> – первая вершина при обходе контура S из <tex>v_1</tex>, для которой ребро <br> <tex> ( v_0, v_i ) \in T </tex>. Тогда ребро ( <tex>v_{i-1}</tex>, <tex>v_0</tex> ) также содержится в T. Поэтому <tex>v_1v_2...v</tex><sub><tex>v_{i-1</tex></sub><tex>}v_0v_i...v_kv_1</tex> – искомый орцикл длины k+1.
## Пусть такой вершины <tex>v_0</tex> нет. Тогда разобьем вершины, не принадлежащие S, на два непересекающихся подмножества <tex>W</tex> и <tex>Z</tex>, где <tex>W</tex> - множество таких вершин <tex>w</tex> , что ребро ( <tex>v_i</tex>, <tex>w</tex> ) для любого <tex>i</tex> содержится в T, а <tex>Z</tex> – множество таких вершин <tex>z</tex>, что ребро ( <tex>z</tex>, <tex>v_i</tex> ) для любого <tex>i</tex> содержится в T. Так как T сильно связан, то оба множества <tex>W</tex> и <tex>Z</tex> не пусты и найдется ребро <tex> ( w', z' ) \in T </tex> , где <tex>w' \in W , z' \in Z</tex>. Тогда <tex>v_1 w' z' v_3...v_k v_1</tex> – требуемый орцикл.
Таким образом в любом сильно связанном турнире T с n вершинами будет орцикл длины n, то есть гамильтонов цикл.
