Изменения

Из процесса построения <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> следует, что он является [[Укладка графа на плоскости#defplanar | планарным графом]]. Ранее уже упоминалась, что он также является [[Дерево, эквивалентные определения#tree |деревом]]. Докажем несколько лемм о структуре Будем обозначать <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex>полигона <tex> P </tex>, в котором <tex> n </tex> вершин (будем пока для простоты считать, что полигон не содержит внутри других полигонов), как <tex> S(P) </tex>. Тогда справедлива следующая лемма: {{Лемма|id = lemma1 |about=1|statement=<tex> S(P) </tex> является деревом, содержит <tex> n </tex> связных граней, <tex> n - 2 </tex> внутренние вершины и <tex> 2 n - 3 </tex> рёбер.|proof=Каждая грань <tex> f(e) </tex> начинается образовываться во время стягивания ребра <tex> e </tex>, и даже если на ребре произошёл <tex> split\ event </tex>, сама грань не могла разделиться. Построение грани <tex> f(e) </tex> завершается, когда ребро <tex> e </tex> полностью стягивается. А новые рёбра появляться не могут, поэтому <tex> S(P) </tex> является деревом, а каждая грань будет связная.Поэтому граней в <tex> S(P) </tex> столько, сколько сторон в многоугольнике, внутренних вершин будет <tex> n - 2 </tex>, а рёбер <tex> 2n - 3 </tex>, что следует из того, что <tex> S(P) </tex> является деревом.}} {{Лемма|id = lemma2 |about=2|statement=<tex> Split\ event'</tex>ы могут исходить только из вогнутных вершин полигона.|proof={{TODO | t = Леммы о свойствах структуры Straight skeletonДоказательство}}}}