308
правок
Изменения
Нет описания правки
== Постановка задачи ==
Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]], содержащая длинные правила. Требуется построить эквивалентную грамматику <tex>\Gamma'</tex>, не содержащую длинных правил. <br>
Задача удаления длинных правил из грамматики возникает при попытке её приведения к [[нормальная форма Хомского|нормальной форме Хомского]].
== Алгоритм ==
С каждым длинным правилом <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>, <tex>k > 2</tex>, <tex>a_i \in \Sigma \cup N</tex> проделаем следующее: <br>#Добавим в грамматику <tex>k-2</tex> новых нетерминала <tex>B_1, B_2, \ldots B_{k-2}</tex>. <br>#Добавим в грамматику <tex>k-1</tex> новое правило: <br>#:<tex>A \rightarrow a_1B_1</tex>, <br>#:<tex>B_1 \rightarrow a_2B_2</tex>, <br>#:<tex>B_2 \rightarrow a_3B_3</tex>, <br>#:<tex>\ldots </tex>, <br>#:<tex>B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}</tex>. <br>
#Удалим из грамматики правило <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>.
=== Корректность алгоритма ===
Покажем, что <tex>L(\Gamma) \subseteq L(\Gamma')</tex>. <br>
Пусть <tex>w \in L(\Gamma)</tex>. Рассмотрим вывод <tex>w</tex>. Если в выводе используется длинное правило <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>, то заменим его на последовательное применение правил <tex>A \rightarrow a_1B_1</tex>, <tex>B_1 \rightarrow a_2B_2</tex>,
<tex>B_2 \rightarrow a_3B_3</tex>, <tex>\ldots </tex>, <tex>B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}</tex>. Получим вывод <tex>w</tex> в <tex>\Gamma'</tex>. <br>
<tex>\Leftarrow </tex> <br>
Покажем, что <tex>L(\Gamma') \subseteq L(\Gamma)</tex>. <br>Допустим, что это не так, то есть <tex>\exists w \in L(\Gamma'), w \notin L(\Gamma)</tex>. <br> Рассмотрим вывод <tex>w</tex> в <tex>\Gamma' \cup \Gamma</tex>, минимальный по количеству примененных правил, отсутствующих в <tex>\Gamma</tex>. <br>
Найдем в этом выводе первое применение некоторого правила <tex>A \rightarrow a_1A_1, a_1 \in \Sigma \cup N</tex>, которого нет в <tex>\Gamma</tex>. В ходе алгоритма оно было получено из некоторого длинного правила <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>. Применим <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex> вместо <tex>A \rightarrow a_1A_1</tex> и удалим в выводе все применения правил, полученных из <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>.
Получим вывод <tex>w</tex> в <tex>\Gamma \cup \Gamma'</tex>, в котором меньше применений правил, отсутствующих в <tex>\Gamma</tex>, чем в исходном. Противоречие.
== Время работы алгоритма ==
Здесь будем понимать под <tex> | \Gamma | </tex> сумму длин правых частей правил. Данный алгоритм работает за добавляет в грамматику <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex> и добавляет в грамматику новых нетерминалов, <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex> новых правил длины <tex>O(1)</tex> и, следовательно, работает за <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>.
== Пример работы ==
Покажем, как описанный алгоритм будет работать на следующей грамматике: <br><tex>S \rightarrow AB</tex>, <br><tex>A \rightarrow aBcB</tex>, <br><tex>B \rightarrow def</tex>. <br>
Для правила <tex>A \rightarrow aBcB</tex> вводим 2 новых нетерминала <tex>A_1, A_2</tex> и 3 новых правила: <br><tex>A \rightarrow aA_1</tex>, <br><tex>A_1 \rightarrow BA_2</tex>, <br><tex>A_2 \rightarrow cB</tex>. <br>
Для правила <tex>B \rightarrow def</tex> вводим 1 новый нетерминал <tex>B_1</tex> и 2 новых правила: <br><tex>B \rightarrow dB_1</tex>, <br><tex>B_1 \rightarrow ef</tex>. <br>
В итоге полученная грамматика <tex>\Gamma'</tex> будет иметь вид: <br><tex>S \rightarrow AB</tex>, <br><tex>A \rightarrow aA_1</tex>, <br><tex>A_1 \rightarrow BA_2</tex>, <br><tex>A_2 \rightarrow cB</tex>, <br><tex>B \rightarrow dB_1</tex>, <br><tex>B_1 \rightarrow ef</tex>. <br>
== См. также ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Chomsky_normal_form Chomsky normal form]
== Источники информации ==
* ''Michael Sipser'' Introduction to the Theory of Computation. — PWS Publishing, 1997. — ISBN 0-534-94728-X. (с 107.)
* ''Michael A. Harrison'' Introduction to Formal Language Theory. — Addison-Wesley, 1978. — ISBN 978-0201029550. (с 103.)
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
