Изменения

{{Задача|definition = Пусть дан [[Основные_определения_теории_графов |ациклический ориентированный взвешенный граф]]. Требуется найти вес кратчайшего пути из '''<tex>u''' </tex> в '''<tex>v''' </tex>. }}{{Определение|definition= '''Кратчайший путь''' из вершины '''u''' в вершину '''v''' – это такой путь из вершины '''u '''в вершину '''v''', что его суммарный вес входящих в него ребер минимален.}}

Пусть <tex>d</tex> — функция, где <tex>d(i)</tex> — вес кратчайшего пути из <tex>u</tex> в <tex>i</tex>. Ясно, что <tex>d(u)</tex> равен <tex>0</tex>. Пусть <tex>w(i, j)</tex> {{- --}} вес ребра из <tex>i</tex> в <tex>j</tex>. Будем обходить граф в порядке [[Использование_обхода_в_глубину_для_топологической_сортировки | топологической сортировки]]. Получаем следующие соотношения: <br />

d[i] = '''infinity'''<tex>\infty</tex>

Пусть дана матрица смежности графа '''<tex>w''' </tex> со следующими весами ребер: <br />

Требуется найти путь вес кратчайшего пути из '''2''' в '''4'''. <br />Массив <tex>p </tex> будет выглядеть следующим образом: <br />

| <tex>i</tex> || '''1''' || '''2''' || '''3''' || '''4''' || '''5''' || '''6''' || '''7''' || '''8'''

| <tex>p[i]</tex> || 2 || 3 || 6 || 7 || 1 || 5 || 8 || 4

Массив <tex>d </tex> будет выглядеть следующим образом: <br />

| <tex>i</tex> || '''1''' || '''2''' || '''3''' || '''4''' || '''5''' || '''6''' || '''7''' || '''8'''

| <tex>d[i]</tex> || 1 || 0 || 1 || 5 || 3 || 2 || 4 || 4

Ответ равен <tex>5</tex>.

Задачу так же можно решить Решим задачу, используя [[Обход_в_ширину |поиском обход в ширину]]. Для этого заведем массив, в котором будем поддерживать массив кратчайший хранить веса кратчайших расстояний от начальной вершины до текущей вершинывсех остальных. Обходя граф в ширинуСовершая обход по графу, будем в каждой вершине для каждой вершины обновлять ответы у всех ее сыновей как минимум из старого значения и потомков проверять, уменьшится ли вес кратчайшего путидо сына, проходящего если пройти через текущую вершину. Если да, то весу кратчайшего расстояния до сына присваиваем значение, равное сумме веса кратчайшего расстояния до текущей вершины и стоимости прохода по ребру между вершиной и ее сыном.В силу особенности обхода графа, обновление весов кратчайших путей до сыновей вершины происходит только тогда, когда для нее уже найден оптимальный ответ.

В силу особенности обхода графа, когда происходит обновление сыновей вершины, для нее самой уже найден оптимальный ответ. ==Смотри См. также==*[[Обход_в_ширину | Обход в ширину]]